Jak znaleźć średnią prędkość. Krok po kroku
Istnieją wartości średnie, których niepoprawna definicja została zawarta w anegdocie lub w przypowieści. Wszelkie niepoprawnie wykonane obliczenia są komentowane przez powszechne, ogólnie zrozumiałe odniesienie do takiego umyślnie absurdalnego wyniku. Każdy na przykład nazwałby określenie "średnia temperatura w szpitalu" sarkastycznym zrozumieniem. Jednak ci sami eksperci często, bez wahania, dodają prędkości na poszczególnych odcinkach ścieżki i dzielą obliczoną ilość przez liczbę tych sekcji, aby uzyskać równie nieistotną odpowiedź. Przypomnij sobie z kursu mechaniki szkół średnich, jak znaleźć średnia prędkość poprawny, a nie absurdalny sposób.
Analogicznie do "średniej temperatury" w mechanice
W jakich przypadkach sprytnie sformułowane warunki problemu popychają nas do pochopnej odpowiedzi? Jeśli mówi się o "częściach" ścieżki, ale ich długość nie jest wskazana, to niepokojąca jest nawet osoba mało doświadczona w rozwiązywaniu takich przykładów. Ale jeśli zadanie bezpośrednio wskazuje równe interwały, na przykład: "pierwsza połowa podróży pociąg podążał z prędkością ..." lub "pieszy szedł pierwszą trzecią część z prędkością ...", a następnie szczegółowo opisuje, jak obiekt poruszał się na pozostałych równych wątki, to znaczy, znamy relację S 1 = S 2 = ... = S n i dokładne wartości prędkości v 1, v 2, ... v n , nasze myślenie często daje niewybaczalne przerwanie ognia. Przyjmuje się średnią arytmetyczną prędkości, czyli wszystkie znane wartości v krotnie i dziel przez n . W rezultacie odpowiedź jest błędna.
Proste "formuły" do obliczania wartości z jednolitym ruchem
A przez cały czas podróży i dla poszczególnych odcinków, w przypadku uśredniania prędkości, relacje napisane dla jednolity ruch :
- S = vt (1), "formuła" ścieżki;
- t = S / v (2) , "wzór" do obliczania czasu ruchu ;
- v = S / t (3), "wzór" do określenia średniej prędkości na odcinku drogi S , przeszedł w czasie t .
Oznacza to, że aby znaleźć pożądaną wartość v przy użyciu relacji (3), musimy dokładnie znać pozostałe dwa. Dokładnie podczas rozwiązywania pytania o to, jak znaleźć średnią prędkość ruchu, musimy przede wszystkim określić, jaka jest cała przejechana ścieżka S i jaki jest cały czas ruchu t .
Matematyczne wykrywanie ukrytego błędu
W przykładzie, który rozwiązujemy, ścieżka przebyta przez ciało (pociągiem lub pieszym) będzie równa iloczynowi nS n (ponieważ składamy równe odcinki ścieżki n razy, w podanych przykładach, połówki są n = 2 lub trzecie, n = 3 ). Nic nie wiemy o pełnym czasie ruchu. Jak wyznaczyć średnią prędkość, jeśli mianownik ułamka (3) nie został wyraźnie określony? Używamy relacji (2), dla każdej sekcji ścieżki, którą określamy t n = S n: v n . Kwota Obliczamy tak obliczone przedziały czasowe pod kreską frakcji (3). Oczywiste jest, że aby pozbyć się znaków "+", konieczne jest zredukowanie wszystkich S n: v n do wspólnego mianownika. Rezultatem jest "dwupiętrowa frakcja". Następnie użyj zasady: mianownik mianownika trafia do licznika. W rezultacie, dla problemu z pociągiem po redukcji przez S n mamy v cf = nv 1 v 2: v 1 + v 2 , n = 2 (4) . W przypadku pieszego pytanie - jak znaleźć średnią prędkość jest jeszcze trudniejsze: v cf = nv 1 v 2 v 3: v 1v2 + v 2 v 3 + v 3 v 1 , n = 3 (5).
Jawne potwierdzenie błędu "w liczbach"
Aby potwierdzić "na palcach", że definicja średniej arytmetycznej jest błędna przy obliczaniu v cf , podajemy przykład zastępując litery abstrakcyjne liczbami. Dla pociągu bierzemy prędkość 40 km / hi 60 km / h (zła odpowiedź to 50 km / h ). Dla pieszego - 5 , 6 i 4 km / h (średnia arytmetyczna - 5 km / h ). Łatwo jest zweryfikować, zastępując wartości w relacjach (4) i (5), że poprawne odpowiedzi będą wynosić 48 km / h dla lokomotywy i 4, (864) km / godz. Dla osoby (frakcja pływowa, wynik nie jest matematycznie zbyt piękny).
Kiedy średnia arytmetyczna "nie zawiedzie"
Jeśli zadanie jest sformułowane w następujący sposób: "W równych odstępach czasu ciało poruszało się najpierw z prędkością v 1 , a następnie v 2 , v 3 itd. ", szybka odpowiedź na pytanie, jak znaleźć średnią prędkość, można znaleźć w niewłaściwy sposób. Niech czytelnik sam to zobaczy, sumując równe okresy w mianowniku i używając licznika v cf przez (1). Jest to prawdopodobnie jedyny przypadek, w którym błędna metoda daje prawidłowy wynik. Aby zagwarantować dokładne obliczenia, należy użyć jedynego poprawnego algorytmu, niezmiennie odnoszącego się do frakcji v cf = S: t .
Algorytm na każdą okazję
W celu uniknięcia błędu na pewno, decydując się na znalezienie średniej prędkości, wystarczy zapamiętać i wykonać prostą sekwencję czynności:
- określić całą ścieżkę, sumując długości poszczególnych jej sekcji;
- ustawić na całej długości;
- podzielić pierwszy wynik przez sekundę, niewiadome, które nie są określone w problemie, są zmniejszone (pod warunkiem, że warunki są poprawne) są zmniejszone.
Artykuł omawia najprostsze przypadki, w których dane źródłowe są podane dla równych części czasu lub równych odcinków ścieżki. W ogólnym przypadku stosunek chronologicznych odstępów lub odległości przebytych przez ciało może być najbardziej arbitralny (ale jednocześnie zdefiniowany matematycznie, wyrażony przez określoną liczbę całkowitą lub ułamek). Zasada adresowania relacji v cf = S: t jest absolutnie uniwersalna i nigdy nie zawodzi, bez względu na to, jak pozornie skomplikowane przekształcenia algebraiczne trzeba wykonać.
Na koniec zauważamy: dla uważnych czytelników praktyczne znaczenie stosowania poprawnego algorytmu nie zostało niezauważone. Poprawnie obliczona średnia prędkość w podanych przykładach okazała się nieco niższa niż "średnia temperatura" na torze. W związku z tym fałszywy algorytm dla systemów rejestrujących przekroczenie prędkości oznaczałby większą liczbę błędnych rozkazów policji drogowej wysłanych do kierowców "listami szczęścia".