Wielomiany Rozkład wielomianowy: metody, przykłady
Pojęcia "wielomian" i "rozkład wielomianu na czynniki" w algebrze są bardzo powszechne, ponieważ muszą być znane, aby łatwo wykonywać obliczenia z dużymi liczbami wielocyfrowymi. W tym artykule opiszemy kilka metod dekompozycji. Wszystkie z nich są dość proste w użyciu, wystarczy wybrać właściwy dla każdego konkretnego przypadku.
Koncepcja wielomianowa
Wielomian jest sumą jednomianów, czyli wyrażeń zawierających tylko operację mnożenia.
Na przykład, 2 * x * y jest jednomianem, ale 2 * x * y + 25 jest wielomianem składającym się z 2 jednomianów: 2 * x * y i 25. Takie wielomiany nazywane są dwunarodowymi wielomianami.
Czasami dla ułatwienia rozwiązywania przykładów o wartościach wielowartościowych, wyrażenie musi zostać przekształcone, na przykład, rozłożone na wiele czynników, to jest liczb lub wyrażeń, pomiędzy którymi wykonywane jest działanie mnożenia. Istnieje kilka sposobów rozłożenia wielomianu na czynniki. Warto je rozważyć od najbardziej prymitywnego, używanego w szkole podstawowej.
Grupowanie (napisz ogólnie)
Wzór na rozkład wielomianu na czynniki w drodze grupowania w formie ogólnej wygląda następująco:
ac + bd + bc + ad = (ac + bc) + (ad + bd)
Konieczne jest grupowanie jednomianów w taki sposób, aby wspólny czynnik pojawiał się w każdej grupie. W pierwszym nawiasie jest to współczynnik c, a w drugim jest d. Należy to zrobić, aby następnie wyjąć go ze wspornika, co uprości obliczenia.
Algorytm dekompozycji dla konkretnego przykładu
Najprostszy przykład rozszerzenia wielomianu na czynniki według metody grupowania podano poniżej:
10ac + 14bc - 25a - 35b = (10ac - 25a) + (14bc - 35b)
W pierwszym nawiasie musisz wziąć warunki z mnożnikiem a, który będzie wspólny, a drugi z mnożnikiem b. Zwróć uwagę na znaki + i - w zakończonym wyrażeniu. Przed monomialnym umieszczamy znak, który był w początkowym wyrażeniu. Oznacza to, że musisz pracować nie z wyrażeniem 25a, ale z wyrażeniem -25. Znak minus wydaje się być "przyklejony" do wyrażenia stojącego za nim i zawsze brać go pod uwagę przy obliczaniu.
Następnym krokiem jest wyciągnięcie mnożnika, który jest wspólny, poza nawias. Właśnie po to jest grupowanie. Wyciągnięcie ze wspornika oznacza wypisanie przed nawiasem (pomijając znak mnożenia) wszystkie te czynniki, które powtarzają się dokładnie we wszystkich terminach znajdujących się w nawiasie. Jeśli nawias nie wynosi 2, a 3 warunki i więcej, wspólny czynnik musi być zawarty w każdym z nich, w przeciwnym razie nie można go wyjąć ze wspornika.
W naszym przypadku - tylko 2 terminy w nawiasach. Wspólny czynnik jest od razu widoczny. W pierwszym nawiasie jest a, w drugim - b. Tutaj należy zwrócić uwagę na współczynniki cyfrowe. W pierwszym nawiasie oba współczynniki (10 i 25) są wielokrotnościami 5. Oznacza to, że nie tylko a, ale także 5a można wyjąć ze wspornika. Przed nawiasami wypisz 5a, a następnie podziel wszystkie terminy w nawiasach za pomocą wspólnego współczynnika, który był wymawiany, a także wpisz iloraz w nawiasach, nie zapominając o znakach + i - .Robot drugi również, wyjmij 7b, jak również 14 i 35 wielokrotność 7.
A więc:
10ac + 14bc - 25a - 35b = (10ac - 25a) + (14bc - 35b) = 5a (2c - 5) + 7b (2c - 5).
Okazało się, że są to 2 terminy: 5a (2c - 5) i 7b (2c - 5). Każdy z nich zawiera wspólny czynnik (całe wyrażenie w nawiasach tutaj pokrywa się, co oznacza, że jest to wspólny czynnik): 2c - 5. Musi on również zostać usunięty z nawiasu, to znaczy terminy w drugim nawiasie pozostają 5a i 7b:
5a (2c - 5) + 7b (2c - 5) = (2c - 5) * (5a + 7b).
A więc pełne wyrażenie:
10ac + 14bc - 25a - 35b = (10ac - 25a) + (14bc - 35b) = 5a (2c - 5) + 7b (2c - 5) = (2c - 5) * (5a + 7b).
Zatem wielomian 10ac + 14bc - 25a - 35b jest rozkładany na 2 czynniki: (2c - 5) i (5a + 7b). Znak mnożenia między nimi można pominąć podczas pisania. 
Czasem są tego typu wyrażenia: 5a 2 + 50a 3 , tutaj możesz wyjąć nie tylko a lub 5a, ale nawet 5a 2 . Zawsze powinieneś próbować wziąć największy wspólny czynnik ze wspornika. W naszym przypadku, jeśli podzielimy każdy termin na wspólny czynnik, okaże się, że:
5a 2 / 5a 2 = 1; 50a 3 / 5а 2 = 10а (przy obliczaniu ilorazu kilku stopni z równymi zasadami podstawa jest zachowywana, a wykładnik odejmowany). W związku z tym jednostka pozostaje w nawiasach (w każdym razie nie zapomnij napisać jednego, jeśli wstawisz jeden z dodatków z nawiasu) i iloraz: 10a. Okazuje się, że:
5a 2 + 50a 3 = 5a 2 (1 + 10a)
Kwadratowe wzory
Dla wygody wyprowadzono kilka formuł. Są one nazywane skróconą formułą mnożenia i są używane dość często. Te formuły pomagają w obliczaniu wielomianów zawierających stopnie. To kolejny skuteczny sposób faktoringu. Oto one:
- a 2 + 2ab + b 2 = (a + b) 2 - formuła zwana "kwadratem sumy", ponieważ w wyniku dekompozycji do kwadratu suma liczb jest ujęta w nawiasy, czyli wartość tej sumy jest pomnożona przez siebie 2 razy , co oznacza, że jest to mnożnik.
- a 2 + 2ab - b 2 = (a - b) 2 - wzór kwadratu różnicy, jest podobny do poprzedniego. Rezultatem jest różnica, ujęta w nawiasy kwadratowe, zawarta w kwadratowej mocy.
- a 2 - b 2 = (a + b) (a - b) jest formułą dla różnicy kwadratów, ponieważ oryginalny wielomian składa się z 2 kwadratów liczb lub wyrażeń, pomiędzy którymi przeprowadza się odejmowanie. Być może spośród wymienionych trzech najczęściej używa się go.
Przykłady obliczeń formuły kwadratowej
Obliczenia na nich dokonywane są po prostu. Na przykład:
- 25x 2 + 20xy + 4y 2 - użyj formuły "kwadratowa suma".
- 25x 2 to wyrażenie kwadratowe 5x. Dwudziesty to podwójny produkt 2 * (5x * 2y), a 4y 2 to kwadrat 2y.
- Zatem 25x2 + 20oksy + 4y2 = (5x + 2y) 2 = (5x + 2y) (5x + 2u). Ten wielomian jest rozkładany na 2 czynniki (czynniki są takie same, dlatego jest zapisywany jako wyrażenie o kwadratowej mocy).
Akcje używające formuły kwadratu różnicowego są wykonywane w ten sam sposób. Formuła pozostaje różnicą kwadratów. Przykłady tej formuły są bardzo łatwe do zidentyfikowania i znalezienia wśród innych wyrażeń. Na przykład:
- 25a 2 - 400 = (5a - 20) (5a + 20). Od 25a 2 = (5a) 2 i 400 = 20 2
- 36x 2 - 25y 2 = (6x - 5y) (6x + 5y). Od 36x 2 = (6x) 2 i 25y 2 = (5y 2 )
- c 2 - 169b 2 = (c - 13b) (c + 13b). Od 169b 2 = (13b) 2
Ważne jest, aby każdy z dodatków był kwadratem wyrażenia. Następnie wielomian ten poddaje się faktoryzacji za pomocą wzoru różnicy kwadratów. W tym celu nie jest konieczne, aby drugi stopień był powyżej liczby. Istnieją wielomiany zawierające duże stopnie, ale nadal odpowiednie dla tych formuł.
a 8 + 10a 4 +25 = (a 4 ) 2 + 2 * a 4 * 5 + 5 2 = (a 4 + 5) 2
W tym przykładzie 8 może być reprezentowany jako (a 4 ) 2 to jest kwadrat pewnego wyrażenia. 25 to 5 2, a 10a 4 to podwójna praca warunki 2 * a 4 * 5. Oznacza to, że to wyrażenie, pomimo obecności stopni z dużymi wykładnikami, może zostać rozłożone na 2 czynniki, aby z nimi później pracować.
Kostki Formula
Istnieją te same formuły do faktorowania wielomianów zawierających sześciany. Są nieco bardziej skomplikowane niż te z kwadratami:
- a 3 + b 3 = (a + b) (a 2 - ab + b 2 ) - ta formuła nazywana jest sumą sześcianów, ponieważ w jej początkowej postaci wielomian jest sumą dwóch wyrażeń lub liczb zawartych w sześcianie.
- a 3 - b 3 = (a - b) (a 2 + ab + b 2 ) - wzór identyczny jak poprzedni, oznaczony jako różnica kostek.
- a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 = (a + b) 3 to sześcian sumy, w wyniku obliczeń podana jest suma liczb lub wyrażeń, ujęta w nawiasy i pomnożona przez siebie 3 razy, to znaczy w sześcianie
- a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3 = (a - b) 3 - formuła stworzona analogicznie do poprzedniej, zmieniająca tylko niektóre znaki operacji matematycznych (plus i minus) nazywana jest "kostką różnicy".
Dwie ostatnie formuły praktycznie nie są używane w celu rozłożenia wielomianu na czynniki, ponieważ są one złożone, a raczej rzadko występują wielomiany, które całkowicie odpowiadają takiej strukturze, aby mogły być rozszerzane zgodnie z tymi wzorami. Ale nadal musisz je znać, ponieważ będą one wymagane do działań w przeciwnym kierunku - podczas otwierania nawiasów.
Przykłady formuły kostki
Rozważmy przykład: 64a 3 - 8b 3 = (4a) 3 - (2b) 3 = (4a - 2b) ((4a) 2 + 4a * 2b + (2b) 2 ) = (4a - 2b) (16a 2 + 8ab + 4b 2 ).
Oto wystarczająco dużo liczby pierwsze dlatego od razu widać, że 64a 3 to (4a) 3 , a 8b 3 to (2b) 3 . Tak więc ten wielomian jest rozkładany przez różnicę formuły sześcianów o 2 czynniki. Działania na wzorze dla sumy kostek wykonywane są analogicznie.
Ważne jest, aby zrozumieć, że nie wszystkie wielomiany podlegają dekompozycji na co najmniej jeden ze sposobów. Ale są takie wyrażenia, które zawierają większe stopnie niż kwadrat lub sześcian, ale można je również rozszerzyć na skrócone formy mnożenia. Na przykład: x 12 + 125y 3 = (x 4 ) 3 + (5y) 3 = (x 4 + 5y) * ((x 4 ) 2 - x 4 * 5y + (5y) 2 ) = (x 4 + 5y) ( x 8 - 5 x 4 y + 25 y 2 ).
Ten przykład zawiera aż 12 stopni. Ale nawet to jest możliwe, aby czynnik to za pomocą wzoru na sumę sześcianów. Aby to zrobić, x 12 musi być reprezentowane jako (x 4 ) 3 , to znaczy jako sześcian jakiegoś wyrażenia. Teraz zamiast w formule konieczne jest jego zastąpienie. Ale wyrażenie 125y3 to kostka 5-ci. Następnie należy wykonać produkt z formuły i wykonać obliczenia
Na początku lub w przypadku wątpliwości zawsze możesz wykonać mnożenie zwrotne. Trzeba tylko otworzyć nawiasy w wynikowym wyrażeniu i wykonać akcje z podobnymi terminami. Ta metoda ma zastosowanie do wszystkich wymienionych metod redukcji: zarówno do pracy ze wspólnym czynnikiem i grupowaniem, jak i do działań z użyciem formuł kostek i stopni kwadratowych.