Właściwości i formuły prostopadłościanu

12.05.2019

Pryzmat jest jedną z idealnych figur wolumetrycznych, wraz z kulą, walcem i piramidą, których właściwości są rozpatrywane w specjalnej sekcji geometrii - stereometrii. W tym artykule omawiamy główne cechy prostopadłościanu.

Postać pryzmatu

Wiele osób wie o trójkątnych pryzmatach lub sześciokątnych, ale nie każda osoba ma jasne wyobrażenie o tym, co to jest w ogóle. W geometrii pod nim rozumiemy obiekt przestrzenny ograniczony dwoma identycznymi wielokątami i kilkoma czworokątami. Dwa wielokąty nazywane są podstawami pryzmatów. Leżą w równoległych płaszczyznach. Wszystkie czworokąty są równoległobokami i tworzą boczną powierzchnię figury.

Główne wzory i właściwości pryzmatu dotyczą kwestii określenia objętości, powierzchni jego powierzchni i liczby elementów tworzących figurę. Kompozycja tego ostatniego obejmuje wierzchołki, krawędzie i powierzchnie. Ilości tych pierwiastków są powiązane ze sobą za pomocą wyrażenia Eulera dla wielościanów. Ma następującą postać:

Liczba krawędzi = liczba ścian + liczba wierzchołków - 2

Ponieważ boczna powierzchnia pryzmatu jest zawsze reprezentowana przez równoległoboki, jej główna charakterystyka zależy od rodzaju wielokąta leżącego w podstawie tej figury. Jeśli wielokąt jest trójkątem, wówczas pryzmat nazywany jest trójkątem, jeśli czworobok jest czworokątny i tak dalej.

Prostokątny pryzmat

Jeśli kąt pomiędzy każdą stroną pryzmatu a jego podstawą wynosi 90 o , wówczas taka liczba nazywana jest prostokątem. Pamiętaj, że mówimy o kącie między bokami, a nie między żebrami. Często taka postać nazywana jest pryzmatem bezpośrednim.

Kiedy zaznaczony kąt wynosi 90 °, wszystkie równoległoboki automatycznie stają się prostokątami. Jest to kolejny powód, dla którego pryzmat nazywany jest prostokątem. Poniższy rysunek pokazuje, jak wygląda prostokątny pryzmat.

Przykłady prostokątnych graniastosłupów

Widzimy tutaj, że każdy z trzech pryzmatów różni się od pozostałych typem wielokąta znajdującego się pod kształtem. Na rysunku pokazano pryzmy trójkątne, czworokątne i pięciokątne. Liczba prostokątów dla każdego z nich wynosi odpowiednio 3, 4 i 5.

Ważną właściwością prostokątnego pryzmatu, który odróżnia ją od ukośnego kąta, jest fakt, że długość jego bocznej krawędzi pokrywa się z wysokością figury. Ta właściwość jest bardzo wygodna przy obliczaniu jej powierzchni i objętości.

Prawidłowy pryzmat

Każdy bezpośredni pryzmat, na którym leży zwykły wielokąt, nazywa się regularnym. Podany wielokąt musi mieć tę samą długość wszystkich boków i równych kątów. Taki prostokąt to trójkąt równoboczny, kwadrat, pięciokąt i tak dalej.

Poniższy rysunek pokazuje dwa pryzmaty. Lewy jest poprawny, ponieważ u podstawy jest kwadrat i jest prosty. Właściwa, mimo że prosta jest prosta, nie jest poprawna, ponieważ jej podstawą jest arbitralny czworobok.

Prawe i złe pryzmy

Jedynym prawidłowym pryzmatem, który ma własną nazwę, jest sześcian. Uzyskuje się, gdy wysokość figury pokrywa się z długością boku kwadratu przy podstawie.

Ponieważ obszar dla zwykłego wielokąta jest łatwy do obliczenia, wówczas dla każdego zwykłego pryzma znane są formuły jego powierzchni i objętości.

Obszar regularnego wielokąta

Przed podaniem wzorów na powierzchnię i objętość prostopadłościanu należy wziąć pod uwagę zwykły wielokąt.

Poniższy rysunek przedstawia zestaw regularnych wielokątów, z wyjątkiem koła.

Regularne wielokąty i koła

Widać, że dla każdego z nich liczba boków pokrywa się z liczbą narożników. Co więcej, wszystkie boki i kąty są takie same. Te właściwości pozwalają nam nadać formułę, która jest uniwersalna dla wszystkich regularnych wielokątów i pozwala nam obliczyć ich powierzchnię. Formuła ma postać:

S n = n / 4 * a 2 * ctg (pi / n)

Gdzie a jest długością boku, n jest liczbą boków (wierzchołków) kształtu. Symbol ctg oznacza cotangensową funkcję trygonometryczną.

Pokazujemy, jak używać tego wyrażenia. Na przykład obliczyć obszar trójkąta równobocznego. Dla niego n = 3, a następnie:

S 3 = 3/4 * a 2 * ctg (pi / 3) = 3/4 * a 2 * 1 / √3 = √ 3/4 * a 2

Teraz użyj tej formuły dla kwadratu. Mamy:

S 4 = 4/4 * a 2 * ctg (pi / 4) = a 2 * 1 = a 2

Znaczy to, że mamy dobrze znane wyrażenie kwadratu kwadratu.

Powierzchnia pryzmatu

Gdy podano geometryczną definicję danej figury, pokazano, że składa się ona z dwóch zasad i szeregu równoległoboków. Liczba ta jest dokładnie równa liczbie boków wielokąta u podstawy. Powierzchnię rozpatrywanej figury można zapisać za pomocą następującego wzoru:

S = 2 * S o + S b

Gdzie S o - obszar bazowy, Sb - powierzchnia boczna. Ponieważ ta ostatnia składa się z n równoległoboków, jej wartość jest równa sumie ich obszarów.

W przypadku zwykłego pryzmatu prostego powierzchnia boczna będzie utworzona przez prostokąty o bokach a i h, gdzie a jest długością boku podstawy, h jest wysokością pryzmatu. W przypadku n regularnego kwadratu otrzymujemy wzór dla obszaru S tot pryzmatu:

S tot = n / 2 * a 2 * ctg (pi / n) + n * a * h

Poniższy rysunek przedstawia skan sześciokątnej pryzmy.

Sześciokątny skan pryzmatyczny

Można zauważyć, że figura jest utworzona przez dwa regularne sześciokąty i sześć identycznych prostokątów, których jedna strona jest równa bokowi sześciokąta. Stosując powyższe wyrażenie dla tego pryzma, otrzymujemy:

S 6 tot = 6/2 * a 2 * ctg (pi / 6) + 6 * a * h = 3 * a * (√3 * a + 2 * h)

Formuła objętościowa

Prostokątne pryzmaty trójkątne

Objętość pryzmatu jest ogólnie obliczana przy użyciu następującej prostej formuły:

V = S o * h

W przypadku kształtu prostokątnego wysokość jest jego krawędzią, więc to wyrażenie jest łatwe do zastosowania. Na przykład obliczamy objętość dla trójkątnego prostopadłościanu. Obszar jego podstawy został już obliczony, jest równy:

S 3 = √3 / 4 * a 2

Następnie wartość objętości dla kształtu będzie następująca:

V = S 3 * h = √3 / 4 * a 2 * godz

Wzory prostego pryzmatu z regularnym wielokątem na dole pokazują, że wszystkie właściwości takich figur można uzyskać, znając tylko dwa parametry: długość boku n-gona i wysokość pryzmatu.