Rozkład dwumianowy: definicja, wzór, przykłady

16.03.2020

Teoria prawdopodobieństwa jest niewidocznie obecna w naszym życiu. Nie zwracamy na to uwagi, ale każde zdarzenie w naszym życiu ma pewne prawdopodobieństwo. Biorąc pod uwagę ogromną liczbę scenariuszy, musimy ustalić najbardziej prawdopodobne i najmniej prawdopodobne z nich. Najwygodniej jest analizować graficznie takie dane probabilistyczne. Dystrybucja może nam w tym pomóc. Dwumianowy - jeden z najłatwiejszych i najdokładniejszych.

Zanim przejdziemy bezpośrednio do matematyki i teorii prawdopodobieństwa, porozmawiajmy z tym, kto pierwszy wpadł na ten rodzaj dystrybucji i jaka jest historia rozwoju aparatu matematycznego dla tej koncepcji.

Rozkład dwumianowy

Historia

Pojęcie prawdopodobieństwa znane jest od czasów starożytnych. Jednak starożytni matematycy nie przywiązywali do niego większej wagi i byli w stanie położyć podwaliny pod teorię, która później stała się teorią prawdopodobieństwa. Stworzyli kilka kombinatorycznych metod, które bardzo pomogły tym, którzy później stworzyli i opracowali samą teorię.

W drugiej połowie XVII wieku zaczęło się kształtowanie podstawowych pojęć i metod teorii prawdopodobieństwa. Wprowadzono definicje zmiennych losowych, metody obliczania prawdopodobieństwa zdarzeń prostych i niektórych złożonych zdarzeń niezależnych i zależnych. Takie zainteresowanie losowymi zmiennymi i prawdopodobieństwami było podyktowane hazardem: każdy chciał wiedzieć, jakie były jego szanse na wygraną.

Następnym krokiem było zastosowanie metod w teorii prawdopodobieństwa analiza matematyczna. Wybitni matematycy, tacy jak Laplace, Gauss, Poisson i Bernoulli, podjęli się tego zadania. Rozszerzyli ten obszar matematyki na nowy poziom. To James Bernoulli odkrył prawo rozkładu dwumianowego. Nawiasem mówiąc, jak się później dowiemy, na podstawie tego odkrycia dokonano kilku kolejnych, które umożliwiły stworzenie prawa o normalnej dystrybucji i wielu innych.

Zanim zaczniemy opisywać rozkład dwumianu, trochę odświeżymy koncepcje teorii prawdopodobieństwa, prawdopodobnie już zapomniane ze szkoły.

Podstawy teorii prawdopodobieństwa

Rozważymy takie systemy, w wyniku czego możliwe są tylko dwa wyniki: "sukces" i "nie sukces". Łatwo to zrozumieć na przykładzie: rzucamy monetą, przypuszczając, że spadną ogony. Prawdopodobieństwo każdego z możliwych zdarzeń (wypada ogon - "sukces", orzeł wypada - "nie sukces") to 50 procent z doskonałym balansowaniem monety i brakiem innych czynników, które mogą wpłynąć na eksperyment.

To było najprostsze wydarzenie. Istnieją jednak również złożone systemy, w których wykonywane są akcje sekwencyjne, a prawdopodobieństwa wyników tych działań będą się różnić. Rozważmy na przykład taki system: w pudełku, którego zawartości nie widzimy, znajduje się sześć absolutnie identycznych piłek, trzy pary niebieskich, czerwonych i białych. Musimy uzyskać losowo kilka piłek. Odpowiednio, najpierw pociągając jedną z białych kulek, zmniejszymy czasami prawdopodobieństwo, że następny otrzyma również białą kulkę. Dzieje się tak, ponieważ zmienia się liczba obiektów w systemie.

W następnym rozdziale przyjrzymy się bardziej złożonym koncepcjom matematycznym, które ściśle nas prowadzą do tego, co oznaczają słowa "rozkład normalny", "rozkład dwumianowy" i podobne.

prawo rozkładu dwumianowego

Elementy statystyki matematycznej

W statystyce, która jest jednym z obszarów zastosowania teorii prawdopodobieństwa, istnieje wiele przykładów, w których dane do analizy nie są podane wprost. Oznacza to, że nie w liczbach, ale w formie podziału według znaków, na przykład według płci. Aby zastosować dane matematyczne do takich danych i wyciągnąć wnioski z uzyskanych wyników, konieczne jest przekonwertowanie oryginalnych danych na format liczbowy. Co do zasady, aby to osiągnąć, pozytywnemu wynikowi przypisuje się wartość 1, a ujemnemu przypisuje się wartość 0. W ten sposób uzyskujemy dane statystyczne, które można analizować za pomocą metod matematycznych.

Następnym krokiem w zrozumieniu, czym jest dwumianowy rozkład zmiennej losowej, jest określenie wariancji zmiennej losowej i oczekiwanie matematycznego. Jest to omówione w następnej sekcji.

dwumianowy rozkład prawdopodobieństwa

Matematyczne oczekiwanie

W rzeczywistości łatwo jest zrozumieć, jakie są oczekiwania. Rozważmy system, w którym występuje wiele różnych zdarzeń z ich różnymi prawdopodobieństwami. Oczekiwania matematyczne będą nazywane wartością równą sumie iloczynu wartości tych zdarzeń (i formy matematycznej, o której mówiliśmy w ostatnim rozdziale) na temat prawdopodobieństwa ich realizacji.

Matematyczne oczekiwanie rozkładu dwumianowego jest obliczane według tego samego schematu: przyjmujemy wartość zmiennej losowej, mnożymy ją przez prawdopodobieństwo pozytywnego wyniku, a następnie podsumowujemy dane uzyskane dla wszystkich wielkości. Bardzo wygodnie jest przedstawić te dane w formie graficznej - stąd lepiej zrozumieć różnicę między matematycznymi oczekiwaniami różnych wielkości.

W następnej części opowiem ci trochę o innej koncepcji - wariancji zmiennej losowej. Jest także ściśle związany z taką koncepcją, jak dwumianowy rozkład prawdopodobieństwa, i jest jej charakterystyczną cechą.

formuła rozkładu dwumianowego

Wariancja rozkładu dwumianowego

Wartość ta jest ściśle powiązana z poprzednią, a także charakteryzuje rozkład danych statystycznych. Reprezentuje on średni kwadrat odchyleń wartości od ich oczekiwań. Oznacza to, że zmienność zmiennej losowej jest sumą kwadratów różnic między wartością zmiennej losowej a jej oczekiwaniem, pomnożoną przez prawdopodobieństwo tego zdarzenia.

Ogólnie rzecz biorąc, to wszystko, co powinniśmy wiedzieć o wariancji, aby zrozumieć, czym jest dwumianowy rozkład prawdopodobieństwa. Przejdziemy teraz bezpośrednio do naszego głównego tematu. Mianowicie, do tego, co kryje się za tak pozornie dość złożonym zwrotem "prawo rozkładu dwumianowego".

przykłady dwumianowego rozkładu

Rozkład dwumianowy

Najpierw zrozumiemy, dlaczego ta dystrybucja jest dwumianowa. Pochodzi od słowa "bin". Być może słyszałeś o dwumianowym Newmie - formule, dzięki której możesz rozłożyć sumę dwóch dowolnych liczb aib na dowolny nieujemny stopień n.

Jak pewnie już się domyślacie, formuła dwumianowa Newtona i dwumianowa formuła rozkładu są niemal identycznymi formułami. Jedynym wyjątkiem jest to, że drugi ma zastosowaną wartość dla określonych ilości, a pierwszy jest jedynie ogólnym narzędziem matematycznym, którego zastosowanie w praktyce może być inne.

Formuły dystrybucji

Funkcja rozkładu dwumianowego może być zapisana jako suma następujących elementów:

(n! / (nk)! k!) * p k * q nk

Tutaj n jest liczbą niezależnych losowych eksperymentów, p jest liczbą udanych wyników, q jest liczbą nieudanych wyników, k jest liczbą eksperymentu (może przyjmować wartości od 0 do n),! - oznaczenie silni, takie jak funkcja liczby, której wartość jest równa iloczynowi wszystkich liczb do niej docierających (na przykład dla liczby 4: 4! = 1 * 2 * 3 * 4 = 24).

Ponadto funkcję rozkładu dwumianowego można zapisać jako niekompletną funkcję beta. Jest to jednak bardziej złożona definicja, używana tylko w rozwiązywaniu złożonych problemów statystycznych.

Rozkład dwumianowy, którego przykłady rozważaliśmy powyżej, jest jednym z najprostszych rodzajów rozkładów w teorii prawdopodobieństwa. Istnieje również rozkład normalny, który jest rodzajem dwumianu. Jest używany najczęściej, a najprościej w obliczeniach. Istnieje również rozkład Bernoulliego, rozkład Poissona, rozkład warunkowy. Wszystkie z nich charakteryzują graficznie prawdopodobieństwa procesu w różnych warunkach.

W następnym rozdziale przyjrzymy się aspektom związanym z użyciem tego aparatu matematycznego w prawdziwym życiu. Na pierwszy rzut oka wydaje się oczywiście, że jest to kolejna rzecz matematyczna, która jak zwykle nie znajduje zastosowania w prawdziwym życiu i generalnie nie jest potrzebna nikomu poza samymi matematykami. Jednak jest to dalekie od przypadku. W końcu wszystkie typy dystrybucji i ich reprezentacje graficzne zostały stworzone wyłącznie w celach praktycznych, a nie jako kaprys naukowców.

oczekiwanie rozkładu dwumianowego

Aplikacja

Oczywiście najważniejszym zastosowaniem rozkładu w statystykach, ponieważ potrzebują one kompleksowej analizy zbioru danych. Jak pokazuje praktyka, bardzo wiele macierzy danych ma w przybliżeniu taki sam rozkład wartości: krytyczne obszary o bardzo niskich i bardzo wysokich wartościach, z reguły zawierają mniej elementów niż wartości średnie.

Analiza dużych ilości danych jest wymagana nie tylko w statystykach. Jest niezbędny na przykład w chemii fizycznej. W tej nauce jest on używany do określenia wielu wielkości, które są związane z przypadkowymi oscylacjami i ruchami atomów i cząsteczek.

W następnym rozdziale zobaczmy, jak ważne jest dla ciebie i dla mnie użycie takich pojęć statystycznych, jak rozkład dwumianowy zmiennej losowej w życiu codziennym.

dyskretny rozkład dwumianowy

Dlaczego go potrzebuję?

Wiele osób zadaje sobie to pytanie, jeśli chodzi o matematykę. A tak przy okazji, matematyka nie jest do niczego nazywana królową nauki. Jest to podstawa fizyki, chemii, biologii, ekonomii iw każdej z tych nauk stosuje się również pewną dystrybucję: czy ten dyskretny rozkład dwumianowy, czy normalny, nie jest ważny. A jeśli przyjrzymy się bliżej światu wokół nas, zobaczymy, że matematyka jest wszędzie używana: w życiu codziennym, w pracy, a nawet relacje międzyludzkie mogą być reprezentowane jako dane statystyczne i analizowane (nawiasem mówiąc, ci, którzy pracują w specjalne organizacje, które zbierają informacje).

Teraz porozmawiajmy trochę o tym, co zrobić, jeśli chcesz wiedzieć o wiele więcej na ten temat, niż to, co napisaliśmy w tym artykule.

Co jeszcze możesz przeczytać?

Informacje, które podaliśmy w tym artykule, są dalekie od ukończenia. Istnieje wiele niuansów dotyczących formy, jaką może przyjąć dystrybucja. Rozkład dwumianowy, jak już stwierdziliśmy, jest jednym z głównych typów, na których opiera się cała statystyka matematyczna i teoria prawdopodobieństwa.

Jeśli stało się interesujące dla ciebie lub w związku z twoją pracą, musisz wiedzieć o wiele więcej na ten temat, będziesz musiał przestudiować literaturę specjalistyczną. Powinniśmy zacząć od uniwersyteckiego kursu analizy matematycznej i udać się tam do części teorii prawdopodobieństwa. Będzie to również przydatna wiedza w zakresie szeregów, ponieważ dwumianowy rozkład prawdopodobieństwa jest niczym innym, jak serią kolejnych członków.

Wniosek

Przed zakończeniem artykułu chcielibyśmy powiedzieć jeszcze jedną interesującą rzecz. Odnosi się to bezpośrednio do tematu naszego artykułu i całej matematyki w ogóle.

Wielu ludzi twierdzi, że matematyka jest bezużyteczną nauką i nic, co przeżyli w szkole, okazało się dla nich przydatne. Ale wiedza nigdy nie jest zbyteczna, a jeśli coś nie jest dla ciebie przydatne w życiu, oznacza to, że po prostu jej nie pamiętasz. Jeśli masz wiedzę, mogą ci pomóc, ale jeśli ich tam nie ma, nie musisz czekać na pomoc.

Więc przyjrzeliśmy się koncepcji rozkładu dwumianowego i wszystkim powiązanym definicjom i rozmawialiśmy o tym, jak to ma zastosowanie do naszego życia.