Postęp geometryczny, jego zastosowanie w rozwiązywaniu problemów

Starożytny indyjski król postanowił hojnie nagrodzić wynalazcę szachów: "Zapytaj mnie, co chcesz na taką mądrą grę". Skromna odpowiedź zaskoczyła władcę, gdy mędrzec poprosił o ziarna pszenicy tak samo, jak zmieściłby się na 64 komórkach szachownicy. Powiedział: "Umieść 1 ziarno na pierwszej komórce, 2 na drugiej, 4 na trzeciej, a następnie 8, 16, 32, ...". Liczba ziaren musiała się dwukrotnie za każdym razem. Wynik liczenia ogłuszył króla. Ziarno liczyło 230 584 300,921,369 funtów. Okazuje się, że z tej serii liczb uzyskano geometryczny postęp. Suma jego członków jest tak duża, że ​​ziarna były liczone wielokrotnie więcej niż cały globalny plon pszenicy.

Sekwencja liczb

W nim każda kolejna liczba, począwszy od drugiej, jest uzyskiwana przez pomnożenie poprzedniej przez pewną stałą liczbę q (const), zwaną mianownikiem. Pierwsza liczba to ₁ ≠ 0 i q ≠ 0. Możesz napisać tak:
w ₁ ; w ₂ = w ₁ ∙ q; w ₃ = w ₂ ∙ q; ...; in _n = in _n-1 ∙ q.
W naszym przykładzie {in _n } liczby rosną bardzo szybko. Jest to rosnący postęp geometryczny, ponieważ dodatnim mianownikiem jest q> 1 i ₁ > 0. Jeśli | q | <1, progresja maleje, z q <0 - naprzemiennie. Oto wzór dla dowolnego członka takiej sekwencji:
w _n = w ₁ ∙ q ^n-1 .
Proponowany problem ziaren rozwiązuje dobrze znana formuła sumy n-pierwszych członów rosnącej progresji geometrycznej
S = (a ₁ -a _p ∙ q) :( 1-q), pod warunkiem, że q ≠ 1.
Aby rozwiązać wiele innych problemów, ważne jest, aby znać charakterystyczną właściwość progresji. Każde wyrażenie na kwadracie (z wyjątkiem pierwszego) jest równe iloczynowi wyrazów w równej odległości od niego,
in _n ² = in nk ∙ in _{n + k} , gdzie 1 ≤ k <n, n ≥ 2.

Nieskończony postęp geometryczny

Jest to seria liczb, jak n ma tendencję do ∞. Przykładem może być sekwencja kwadratów kwadratów, które są otrzymywane w następujący sposób. Łączymy punkty środkowe boków tego urządzenia, a następnie łączymy punkty środkowe boków nowego kwadratu, kontynuujemy ten proces bez końca {1, ½, ¼, 1/8, ...}. Pierwszy termin progresji 1, mianownik ½. Malejący postęp geometryczny nazywany jest nieskończonym, jeśli jego mianownik należy do otwartego segmentu (0, 1). Rozważając segment (-1, 1), musimy mówić o zbieżnej i rozbieżnej sekwencji liczb. Podczas rozwiązywania problemów użytecznych warto znać prosty wzór na sumę elementów nieskończenie malejącego postępu geometrycznego.
S = w ₁ / (1-q).

Przykłady zadań wykorzystujących postęp geometryczny

1. Napisz okresową frakcję 0, (13) w postaci liczby wymiernej (zwykła frakcja).
   Wyobraźmy ułamek dziesiętny jako sumę:
   0.131313 ... = 13/100 + 13/10000 + 13/1000000 + ...
   Oczywiście w ₁ = 13/100 obliczamy q: 13/10000 i dzielimy przez 13/100,
   otrzymujemy q = 1/100. Proponowana kwota jest łatwa do znalezienia dzięki formule
   S = (13/100) / (1- (1/100)) = (13/100) (100/99) = 13/99 - jest to reprezentacja ułamka dziesiętnego w postaci zwykłej.
   
2. W nieskończenie malejącym postępie drugi człon jest znany jako ₂ = 21, a suma to S = 112. Wymagane jest znalezienie jego pierwszego członu. Podczas rozwiązywania używamy formuł sumy nieskończonego geometrycznego i drugiego terminu progresji, otrzymujemy układ 2 równań z dwoma niewiadomymi.
   Pierwsze równanie tego układu to 112 = a ₁ / (1-q), a ₁ = 21 / q to 2.
   Po rozwiązaniu go otrzymujemy równanie kwadratowe w odniesieniu do q.
   112q ² -112q + 21 = 0, uprość 16q ² -16q + 3 = 0.
   W rezultacie 2 korzenie q ₁ = ¾, q ₂ = ¼. Pierwszy członek
   a ₁ = 21 / (3/4), a pierwszy człon a ₁ = 21 / (1/4).
   Nasze zadanie ma 2 rozwiązania: a ₁ = 28 i ₁ = 84.

Wniosek

Postęp geometryczny jest szeroko stosowany w rozwiązywaniu wielu problemów ze znalezieniem liczby danego elementu sekwencji, jej mianownika, pod warunkiem, że nie są określone dwa sąsiednie elementy. Istnieją interesujące problemy, w których członkowie są zapisywani w formie wyrażeń ze zmiennymi.