Jak znaleźć obszar trójkąta równobocznego: podstawowe formuły

Możesz znaleźć obszar trójkąta równobocznego za pomocą dowolnego wzoru na dowolną figurę tego typu lub użyć tych, które już uwzględniają specyfikę tej konkretnej figury, a wyrażenia matematyczne zostały znacznie uproszczone.

Pierwszy przypadek wymaga tylko zastąpienia wszystkich stron tą samą wartością i biorąc pod uwagę, że wszystkie kąty trójkąta wynoszą 60º. Wtedy konieczne będzie przeprowadzenie prostych przekształceń, które spowodują, że formuły podane w gotowej formie będą nieco niższe.

Formuła 1: znana strona

W tym i kolejnych wzorach przyjęto standardową notację dla wartości trójkąta. Więcej szczegółów można znaleźć w proponowanej tabeli.

Obliczenie obszaru trójkąta w tym przypadku zostanie przeprowadzone zgodnie ze wzorem:

S = √3 / 4 * a ² .

Łatwo go uzyskać z tego, co znane jest z arbitralnej figury z trzema stronami. Wystarczy we wzorze, aby wziąć pod uwagę fakt, że wszystkie strony trójkąta są równe.

Dokładniej, wymagana jest formuła Gerony: S = √ (p (pa) (pb) (pc)). Wartość półobrzegu dla trójkąta równobocznego wyniesie 3a / 2. Tak więc wyrażenie ((3а / 2) - a) jest uzyskiwane w każdym nawiasie pod korzeniem. Da to po konwersji a / 2.

Ponieważ są trzy nawiasy, to wyrażenie będzie miało trzeci stopień. Zostanie zmieniony na 3/8.

Nadal musi być pomnożona przez pół-obwód, który jest zdefiniowany jako suma boków podzielonych przez 2. Otrzymano wyrażenie: 3a 4/16. Po ekstrakcji pierwiastek kwadratowy tylko wyrażenie, które jest podane w pierwszym wzorze dla obszaru trójkąta równobocznego, pozostanie.

Dlatego nie ma potrzeby zapamiętywania wielu formuł. Możesz po prostu zapamiętać jedną - Gerona. Na podstawie prostych przekształceń matematycznych uzyskuje się wszystkie pozostałe, na przykład dla trójkąta równobocznego.

Formuła 2: promień wpisanego koła

To wyrażenie jest bardzo podobne do poprzedniego wpisu. Ale nadal istnieją znaczące różnice: stosuje się inną literę, irracjonalność poszła do mianownika, pojawił się czynnik 3 i zniknęła liczba 4. Ogólnie rzecz biorąc, jest to łatwe do zapamiętania.

S = 3√3 * r ² .

Ta formuła jest również łatwa do uzyskania z podanej dla dowolnego trójkąta. W nim promień jest mnożony przez sumę boków i dzielony przez 4. Ponieważ boki mają tę samą wartość, suma zostanie zastąpiona przez 3a. Teraz musisz usunąć "a", aby pozostać tylko wartością promienia. Będzie to wymagało wyrażenia, w którym strona jest podzielona przez produkt 2 i sinus po przeciwnej stronie kąta. Ponieważ kąt wynosi 60º, wartość sinusoidalna będzie √3 / 2. Następnie strona będzie wyrażana poprzez promień w następujący sposób: a = √3R. Po prostej transformacji możesz przejść do wyrażenia dla obszaru, który jest podany na początku.

Formuła 3: Podano okrąg i jego promień

Jest bardzo podobna do pierwszej. Tylko w jego liczniku pojawia się liczba 3, a litera zmieniła się na R.

S = 3√3 / 4 * R ² .

Ponieważ promień jest dwa razy większy niż ten rozważany w poprzednim paragrafie, jasne jest, jak się okazuje. Po prostu zamienia r na r / 2. Konieczne transformacje są przeprowadzane.

Dlatego nie można zapamiętać formuły. Pamiętajmy tylko o współczynniku promieni wpisanym i opisanym wokół równobocznego trójkąta okręgów.

Formuła 4: znana wysokość

W tym przypadku obszar trójkąta równobocznego jest:

S = n ² / √3.

Aby zrozumieć, w jaki sposób uzyskano tę formułę, konieczne będzie ponowne użycie wspólnego dla wszystkich trójkątów. Wygląda jak iloczyn boku i wysokości o ½. Teraz, aby znaleźć obszar trójkąta równobocznego, konieczne jest przywołanie lub wyprowadzenie matematycznego wyrażenia dla wysokości.

Łatwo się nauczyć, jeśli wykorzystasz fakt, że formuje się wysokość trójkąt prostokątny. Stąd wysokość można znaleźć jako nogę - z twierdzenia Pitagorasa. Druga noga będzie równa połowie boku, ponieważ wysokość jest również medianą (jest to dobrze znana własność trójkąta równobocznego). Następnie wysokość zostanie określona jako pierwiastek kwadratowy z różnicy dwóch kwadratów. Pierwszy "a", a drugi "a / 2". Po wzniesieniu w drugim stopniu i wydobyciu resztek korzenia: n = (√3 / 2) * a. Z tego a = 2n / √3. Po podstawieniu go do podstawowej formuły dla wszystkich trójkątów, otrzymamy wyrażenie, które jest wskazane na początku sekcji.

Przykład №1

Stan Oblicz pole trójkąta równobocznego, jeśli wiadomo, że jego strona ma 4 cm.

Decyzja. Ponieważ znana jest wartość boków figury, konieczne jest użycie pierwszej formuły.

Najpierw musisz wyrównać liczbę 4. Z tej akcji otrzymasz liczbę 16. Teraz jest zmniejszona o cztery stojące w mianowniku. W rezultacie 4 i √3 pozostają w liczniku, a mianownik staje się równy jeden, co oznacza, że ​​po prostu nie można go zarejestrować. Jest to wynik, który był wymagany do znalezienia problemu.

Odpowiedź: 4√3 cm ² .

Przykład 2

Stan Wszystkie boki trójkąta równobocznego wynoszą 2√2 dm. Oblicz swój obszar.

Decyzja. Argumenty są takie same jak w pierwszym zadaniu. Tylko wartość kwadratów bocznych będzie inna. Musi być oddzielnie wbudowany drugi stopień 2 i irracjonalność. Wynik będzie następujący: 4 * 2 = 8. Po zmniejszeniu o mianownik, 2 i √3 pozostają w liczniku ułamka, a mianownik znika.

Odpowiedź: 2√3 dm ² .

Przykładowy numer 3

Stan Koło wpisane jest w trójkąt równoboczny, jego promień wynosi 2,5 cm, konieczne jest obliczenie obszaru trójkąta.

Decyzja. Aby obliczyć pożądaną wartość, musisz użyć drugiej formuły.

Po pierwsze, wartość promienia musi być podniesiona do kwadratu. Okazuje się, że 6,25. Następnie wartość ta musi zostać pomnożona przez 3. Wynik tej akcji będzie liczbą 18,75. Ale to nie jest ostateczna wartość: będzie miała współczynnik √3, który jest obecny w użytym wzorze.

Odpowiedź: 18,75√3 cm ² .

Przykład 4

Stan Wymagane jest określenie, jaki obszar trójkąta równobocznego jest równy, jeśli znana jest jego wysokość - 3 dm.

Decyzja. Naturalnie musisz wybrać czwartą formułę. Przy jego pomocy najłatwiej znaleźć odpowiedź na ten problem.

Wystarczy tylko wyrównać liczbę 3, czyli wysokość, która da wartość 9. A następnie podzielić ją przez √3, stojąc w formule.

Ponieważ w matematyce nie ma zwyczaju pozostawić irracjonalność w mianowniku odpowiedzi, musisz się jej pozbyć. Aby to zrobić, frakcja 9 / √3 będzie musiała zostać pomnożona przez ułamek z tym samym licznikiem i mianownikiem, a mianowicie √3 / √3. Z tego działania w liczniku pojawia się wartość 9√3, a liczba 3 pojawia się w mianowniku.

Ta frakcja może i powinien zostać zmniejszony o 3. To jest wynik końcowy.

Odpowiedź: obszar to 3√3 dm ² .

Numer przykładu 5

Stan Podano trójkąt równoboczny o powierzchni 27 cm ² . Przy tej wartości musisz znać długość boku figury.

Decyzja. Ponieważ jest to z boku, pierwsza formuła zrobi. Z niego można od razu wyprowadzić wyrażenie matematyczne, które pozwala określić bok trójkąta.

Aby to zrobić, obszar musi być pomnożony przez 4 i podzielony przez pierwiastek kwadratowy z trzech. Zdobądź więc wartość dla boku na kwadracie. Aby uzyskać tylko jedną stronę, musisz wyodrębnić root. Wyrażenie dla strony będzie wyglądać tak: a = 2 * √ (S / √3).

Ponieważ obszar jest znany, możesz natychmiast przystąpić do obliczeń. Wyrażenie radykalne wygląda jak iloraz 27 i √3. Trzeba się pozbyć irracjonalności w mianowniku. Okazuje się, że jest 27√3, podzielona przez 3. Po zmniejszeniu 1 pozostaje w mianowniku, którego nie można zapisać, a 9√3 pozostaje w liczniku.

Następnym krokiem jest wyodrębnienie korzenia z wynikowego wyrażenia. Pierwszy czynnik daje wartość 3. Ale drugi, √3, wymaga uwagi. Aby uprościć zadanie, możesz wyodrębnić te korzenie i zaokrąglić wartości.

√3 = 1,73; teraz wyodrębniamy z niego root i otrzymamy 1,32.

Pozostaje tylko pomnożyć przez 2 i uzyskać pożądany wynik.

Odpowiedź: bok wynosi 2,64 cm.