Jak znaleźć objętość cylindra: formuły i problem

Kwestia znalezienia objętości cylindra może powstać nie tylko od ucznia. W końcu ta forma ma na przykład garnek, którego pojemność jest czasami pilnie potrzebna, aby się dowiedzieć. Wtedy potrzebujesz wiedzy o specjalnej formule.

Co musisz wiedzieć o cylindrze?

Ciało geometryczne, o którym mówimy, powstaje przez obrócenie prostokąta wokół jednego z jego boków i zawsze będzie proste. Oznacza to, że kąt pomiędzy generatorem cylindra i jego podstawą w tym przypadku wynosi 90 stopni. Jeśli ten prosty ruch zawodzi, a kąt nie wynosi już 90 stopni, wówczas mówimy o pochylonym cylindrze.

Niezależnie od wyglądu ciała, nadal musisz wiedzieć, jak znaleźć objętość cylindra. Ale najpierw musisz zdecydować o niektórych danych teoretycznych.

Jakie są poszczególne elementy butli i co o nich wiadomo?

Segmenty łączące w pary odpowiednie punkty na dwóch bazach nazywa się generatorami. W każdym cylindrze są one równe i równoległe względem siebie. Jeśli jest prosty, to długość macierzy pokrywa się z wysokością ciała.

Koło lub elipsa może leżeć u podstawy, a następnie cylinder będzie odpowiednio okrągły lub eliptyczny. W formułach ten fakt będzie musiał zostać wzięty pod uwagę. Ponieważ najczęściej są one podane dla okrągłego cylindra. W eliptycznym, przed obliczeniem objętości cylindra, musisz się dowiedzieć, przez jaką formułę wyznaczysz obszar owalu.

Formuły objętościowe dla cylindrów prostych i ukośnych

Dalej, takie oznaczenia są brane.

W każdym razie będziesz potrzebować wzoru, w którym wysokość ciała jest pomnożona przez powierzchnię podstawy. Wygląda tak:

V = Sh

Jeśli chcesz wiedzieć, jak znaleźć objętość cylindra prosto, to tutaj wysokość wzdłuż długości całkowicie pokrywa się z generatorem. Podstawą jest najczęściej okrąg, a następnie jego obszar będzie obliczany według wzoru:

S = πr ² .

Gdy problem dotyczy cylindra eliptycznego, potrzebujesz następującej formuły dla obszaru podstawy:

S = π ab , tutaj litery a i b oznaczają mniejsze i główne półosie owalu.

Podczas rozwiązywania problemów z nachylonym cylindrem, musisz wprowadzić kilka dodatków do formuły. Na przykład, jeśli wysokość nie jest znana, ale jest to kwestia generatora i kąta między nim a podstawą. Wtedy litera h będzie musiała zostać zastąpiona przez takie wyrażenie:

h = l * sin α .

Co zrobić, jeśli chcesz określić objętość w praktyce?

W przypadku problemów wartości kąta lub wysokości generatora są zwykle znane. I może jakieś inne elementy, przez które można je znaleźć. W życiu musisz sam wykonać pomiary.

Następnie pytanie, jak określić objętość cylindra sprowadza się do prawidłowego pomiaru jego wysokości i promienia. Aby to zrobić, potrzebujesz: linijki, ołówka i prostokątnej kartki papieru.

Najczęściej w życiu codziennym otaczają nas proste okrągłe cylindry. Zmierz ich wysokość zazwyczaj nie jest trudna. Wystarczy przymocować linijkę z boku i zmierzyć odległość od dołu do górnej części ciała. Będzie to wysokość - h.

W promieniu koła wszystko nie jest takie łatwe. Musimy pamiętać o małej geometrii. Tutaj potrzebujesz kartki papieru z kątem prostym i ołówkiem.

Co daje teoria geometrii? Około trójkąt prostokątny Możesz opisać krąg. Co więcej, jego kąt prosty będzie na nim, a przeciwprostokątna będzie pokrywała się ze średnicą.

Musisz wziąć arkusz papieru i umieścić go tak, aby prawy kąt dotykał krawędzi podstawy. Wtedy jego dwa boki, które tworzą ten kąt, będą przecinały koło w niektórych punktach. W tych miejscach trzeba tworzyć znaczniki. Na nich wydać segment. Będzie to przeciwprostokątna i pożądana średnica podstawy cylindra.

Jak znaleźć objętość cylindra, w naszym przypadku? Formuła zawiera promień. Jest równa połowie średnicy. Oznacza to, że długość wynikowego segmentu należy podzielić na dwa.

Pozostaje tylko zastąpić wyniki pomiarów wzorem na objętość i liczbę. I weź pod uwagę, że odpowiedź jest w cm ³ . Jeśli objętość musi być znana w metrach sześciennych, liczba ta będzie musiała zostać podzielona przez milion. Aby uzyskać objętość w litrach, dzielnik będzie miał tysiąc.

Zadanie

Stan Biorąc pod uwagę dwa cylindry. Wysokość pierwszych dwóch razy na sekundę. Promień drugiego jest dwa razy większy od pierwszego. Konieczne jest sprawdzenie, ile razy objętość pierwszego cylindra jest mniejsza lub równa objętości drugiego.

Decyzja. Najpierw musisz wpisać notację. Niech wysokość i promień pierwszego ciała będą miały indeks 1, a drugie - 2.

Teraz możesz zapisać dane w wartościach warunków w postaci wyrażeń:

h ₁ = 2h ₂ i r ₂ = 2r ₁ .

Wzory dla objętości obu cylindrów będą wyglądać tak:

v ₁ = π r ₁ ² h ₁ i v ₂ = π r ₂ ² h ₂ .

Zadanie wymaga znalezienia:

v ₁ : v ₂ = (π r ₁ ² h ₁ ): (π r ₂ ² h ₂ ).

Po zmniejszeniu π i zastąpieniu h ₁ i r ₂ wprowadzonymi wyrażeniami, okazuje się:

v ₁ : v ₂ = (r ₁ ² 2h ₂ ): (4r ₁ ² h ₂ ).

To znaczy, v ₁ : v ₂ = 1: 2. Oznacza to, że objętość pierwszego cylindra jest dwa razy mniejsza.

Odpowiedź jest. v ₁ = v ₂ : 2.