Butelka Kleina: właściwości i zastosowania

14.05.2019

Butelka Klein jest dwuwymiarowym kolektorem, pewną nie orientowaną powierzchnią. Został po raz pierwszy opisany przez niemieckiego matematyka Kleina w 1882 roku. Jeśli wytniesz butelkę Kleina wzdłuż osi symetrii w połowie na równe części, rezultatem będzie pasek Mobiusa. Sama nazwa pochodzi najprawdopodobniej z niepoprawnego tłumaczenia niemieckiego słowa Flache - surface. Pisząc, to słowo jest zbliżone do słowa Flasche - butelka. W przyszłości ta nazwa jest w tej wersji zwracana do języka niemieckiego.

Butelka kleina

Kula na wylot

Taśma Mobiusa, Butelka Klein i heptahedron - wszystko to jest całkowicie statyczna konstrukcja z wewnętrznymi powierzchniami. W XX wieku topologowie zaczęli rozwiązywać problemy o charakterze dynamicznym, a pierwszym z nich była inwersja sfery. W przeciwieństwie do powyższych figur, powierzchnia kuli jest zorientowana. Jej wewnętrzna strona może być pomalowana na niebiesko, a zewnętrzna - w kolorze czerwonym. Jeśli po takim zabrudzeniu powierzchni zmieniamy miejscami południowe i północne bieguny, przesuwając je wzdłuż osi łączącej, kula zostanie odwrócona na lewą stronę, aby jej zewnętrzna powierzchnia stała się niebieska, a wewnętrzna powierzchnia zmieniła kolor na czerwony. Fałda tworzy się na całym obwodzie równika. Ale to nie wszystko: kiedy bieguny przesuwają się wzdłuż osi, a zewnętrzna powierzchnia kuli zmienia kolor z czerwonego na niebieski, to długość równika powstanie toroidalna powierzchnia, pomalowana od zewnątrz na czerwono. W konsekwencji, sfera wyłaniająca się na pół pokazuje inny ciekawy efekt w topologii - przeplatanie przestrzeni zewnętrznej i wewnętrznej, ponieważ obie powierzchnie wypadają z zewnątrz.

Butelki Klein

Jak zbudować model butelki Klein

Najpierw musisz wziąć butelkę z otworami w ścianie i na dole i pociągnąć za szyję, zginając ją i przechodząc przez otwór w ścianie. Jeśli zbudujesz model prawdziwej butelki w czterowymiarowej przestrzeni, wtedy nie ma potrzeby dziury w ścianie. Ale bez niego nie można się obejść, jeśli model zostanie zbudowany w trójwymiarowej przestrzeni euklidesowej (R3). Następnie szyję należy przymocować do otworu u dołu. Butelka Klein, w przeciwieństwie do zwykłego szkła, nie ma "krawędzi", gdy powierzchnia kończy się nagle. Jeśli porównamy to z balonem, wówczas ścieżka od środka na zewnątrz przechodzi przez nie przechodząc przez powierzchnię. Tak więc w rzeczywistości obiekt nie ma powierzchni wewnętrznej ani zewnętrznej.

Butelka Klein: zastosowanie i właściwości

Aplikacja do klejenia butelek

Obiekt ten, podobnie jak pasek Mobiusa, jest dwuwymiarowym, różniczkowalnym, nieorientowanym kolektorem. Ale w przeciwieństwie do wstęgi, butelka Klein to kompaktowy kolektor bez krawędzi. Jeśli przykleisz dwa brzegi Mobius wzdłuż krawędzi, dostaniesz butelkę Kleina. Ale nie można tego zrobić w zwykłej przestrzeni (R3) bez tworzenia samo-przecięcia. Butelkę Klein można zanurzać tylko trójwymiarowa przestrzeń ale jednocześnie może być osadzony w czterowymiarowej przestrzeni. Ten obiekt ma chromatyczną liczbę sześciu powierzchni.