Problemy rozwiązane za pomocą równania: przykłady, wyjaśnienia. Problemy z algebrą

Prędzej czy później każdy uczeń z lekcji algebry napotka problemy rozwiązane przez równanie. Początkowo pojawianie się listów zamiast zwykłych liczb i działań z nimi pomieszało nawet najbardziej utalentowanym, ale jeśli spojrzeć, wszystko nie jest tak trudne, jak się wydaje na pierwszy rzut oka.

Algorytm decyzji

Zanim przejdziemy do konkretnych przykładów, konieczne jest zrozumienie algorytmu rozwiązywania problemów za pomocą równań. W każdym równaniu jest nieznany, najczęściej oznaczony literą X. Również w każdym problemie jest to, co należy znaleźć, ten sam nieznany. Właśnie to powinno być oznaczone jako X. A następnie, pod warunkiem problemu, dodawać, odejmować, mnożyć i dzielić - wykonać wszelkie niezbędne działania.

Po znalezieniu nieznanego, konieczne jest wykonanie sprawdzenia, aby upewnić się, że problem został rozwiązany poprawnie. Warto zauważyć, że dzieci już w szkole podstawowej zaczynają rozwiązywać problemy przy pomocy równań. Przykładem tego są zadania, które należy rozwiązać za pomocą segmentów, które są najbardziej kompletnymi analogami nieznanych liter.

Podstawa podstaw - problem koszyka

Tak więc, spróbujmy w praktyce zastosować rozwiązanie problemów za pomocą równań, wyjaśnienie algorytmu, który został podany nieco wyżej.

Otrzymuje zadanie: posadzono wiele koszy z jabłkami. Najpierw sprzedano 3 kosze, a następnie 8 kolejnych koszy. Rezultatem było 12 koszy. Ile koszy początkowych jabłek zostało zebranych ?

Rozpoczynamy rozwiązanie problemu, wyznaczając nieznany - czyli początkową liczbę koszyków - literę X. Teraz zaczynamy tworzyć równanie: X (ilość początkowa) - 3 (sprzedane koszyki) + 8 (te, które zostały zebrane później) = 12 (całkowita liczba koszyków ), to jest X - 3 + 8 = 12. Rozwiązując proste równanie, otrzymujemy, że X = 7. Pamiętaj, aby wykonać test, to znaczy, podstawić znaleziony numer do równania: 7 - 3 + 8 jest rzeczywiście równe 12, to znaczy problem jest rozwiązany poprawnie.

Mocowanie: sale koncertowe

Podano następujące zadanie: W dwóch salach koncertowych znajduje się 450 miejsc. Wiadomo, że w jednej sali jest 4 razy więcej miejsc niż w innych. Musisz wiedzieć, ile miejsc w każdym pokoju .

Aby rozwiązać podobne problemy w algebrze, musimy ponownie zastosować to równanie. Wiemy, że suma dwóch liczb, z których jedna jest 4 razy większa od drugiej, to 450. Niech liczba miejsc w mniejszej sali, nieznana, będzie równa X, wtedy liczba miejsc w większej sali to 4 * X = 4X. Dlatego 450 = X + 4X = 5X. A następnie musisz rozwiązać standardowe równanie 450 = 5X, gdzie X = 450/5 = 90, czyli w mniejszej hali jest 90 miejsc, co oznacza w większym - 90 * 4 = 360. Aby sprawdzić, czy problem został rozwiązany poprawnie, możesz sprawdzić nierówność: 360 + 90 = 450, czyli odpowiedź jest prawidłowa.

Classic: półki na książki

Ale problemy rozwiązane przez równanie mogą być bardziej skomplikowane. Na przykład są trzy półki z książkami. Na pierwszej półce jest 8 książek więcej niż na drugiej, a 3 razy więcej na trzeciej niż drugiej, a liczba książek na pierwszej i trzeciej półce jest równa. Ile książek znajduje się na każdej półce?

Oczywiste jest, że musisz odepchnąć się od drugiej półki, która znajduje się w obu warunkach. Jeśli określimy liczbę książek na nim dla X, to na pierwszej półce X + 8 książek, a na trzeciej - X * 3 książek, a X + 8 = 3X. Rozwiązując równanie, otrzymujemy X = 4. Wykonujemy test, zastępując nieznany w równości: 4 + 8 jest naprawdę równe 3 * 4, to znaczy problem jest rozwiązywany poprawnie.

Ćwicz dalej: bobry

Jak widać, rozwiązywanie problemów z równaniem jest znacznie łatwiejsze niż się wydaje na pierwszy rzut oka. Naprawimy umiejętności pracy z równaniami przez inne zadanie. Pierwszy bobry gryzły kilka drzew w ciągu jednego dnia. Drugi bóbr gryzł 6 razy więcej. Trzeci bóbr przegryzł 2 razy więcej drzew niż pierwszy, ale 3 razy mniej niż drugi. Ile drzew ugryzło każdego bobra?

Zadanie nie jest tak skomplikowane, jak się wydaje na pierwszy rzut oka. Najpierw znajdujemy nieznane - w tym problemie jest to liczba drzew ogryzanych przez pierwszego bobra. W konsekwencji, drugi bóbr zniszczył 6 * X drzew, a trzeci - 2 * X, a ta liczba jest 3 razy mniejsza niż 6 * X. Uzupełnij równanie: 6X = 3 * 2X. Po rozwiązaniu tego pierwszego bobra obgryzaliśmy tylko jedno drzewo, następnie drugie - 6, a trzecie - 2. Zastępując liczby w równaniu, rozumiemy, że problem został rozwiązany poprawnie.

Korelujemy równania i warunki

Jeśli usłyszysz: "Dla każdego problemu wybierz odpowiednie równanie" - nie martw się - jest to całkowicie realne.

Podano następujące równania:

1. 6 + X = 2X;
2. 6 = 2X;
3. 2 + X = 6 .

Warunki realizacji zadań są następujące:

1. Chłopiec miał 6 jabłek, a dziewczyna była dwa razy mniejsza, ile jabłek ma dziewczyna?
2. Na stole są długopisy i ołówki, wiadomo, że na stole jest 6 piór, a 2 ołówki mniej, ile piór i ile ołówków na stole?
3. Wania ma sześć monet więcej niż Tanya, a Tanya ma dwa razy mniej niż Ani, ile monet ma każde dziecko, czy Wania i Ani mają taką samą ilość monet?

Wykonujemy równania dla każdego z problemów.

• W pierwszym przypadku nie znamy liczby jabłek w dziewczynie, to znaczy jest ona równa X, wiemy, że X jest 2 razy mniejsza niż 6, czyli 6 = 2X, dlatego równanie nr 2 pasuje do tego warunku.
• W drugim przypadku X wskazuje liczbę ołówków, następnie liczbę długopisów X + 2, ale wiemy, że istnieje 6 piór, czyli X + 2 = 6, co oznacza, że ​​pasuje tu trzecie równanie.
• Jeśli chodzi o ostatnie zadanie, pod numerem 3, liczba Tanin, która występuje w dwóch warunkach, jest nieznana nieznana, następnie Wania ma 6 + X monet, a Ani ma 2X monety, czyli 6 + X = 2X - jest oczywiste, że pierwsze równanie.

Jeśli masz problemy rozwiązane przy pomocy równania, do którego musisz znaleźć odpowiednią równość, zrób równanie dla każdego z problemów, a następnie skoreluj to, co masz z tymi równaniami.

Komplikacja: układ równań - cukierki

Kolejnym etapem stosowania zasady równości literowej w algebrze są problemy rozwiązane przez układ równań. Istnieją w nich dwie niewiadome, a jedna z nich jest wyrażona w kategoriach drugiej w oparciu o dostępne dane. Wiadomo, że Pasha i Katie razem 20 cukierków. Wiadomo też, że gdyby Pasza miał jeszcze 2 cukierki, miałby 15 cukierków, ile słodyczy?

W tym przypadku nie znamy ani liczby cukierków Katy, ani liczby cukierków Sashy, dlatego mamy dwie niewiadome, odpowiednio X i Y. W tym samym czasie wiemy, że Y + 2 = 15.

Tworząc system otrzymujemy dwa równania:

1. X + Y = 20;
2. Y + 2 = 15.

A następnie postępujemy zgodnie z zasadami rozwiązywania układów: wyprowadzamy Y z drugiego równania, otrzymując Y = 15 - 2, a następnie podstawiamy je do pierwszego, czyli X + Y = X + (15 - 2) = 20. Po rozwiązaniu równania otrzymujemy X = 7, następnie Y = 20 - 7 = 13. Sprawdź poprawność rozwiązania, zastępując Y w drugim równaniu: 13 + 2 jest naprawdę równe 15, czyli Katya ma 7 cukierków, a dla Paszy - 13.

Jeszcze trudniejsze: równania kwadratowe i ląd

Istnieją również problemy w rozwiązywaniu algebry równanie kwadratowe. Nie ma w nich nic skomplikowanego, tylko standardowy system przekształca się w równanie kwadratowe podczas rozwiązania. Na przykład, podana jest działka o powierzchni 6 hektarów (60 000 metrów kwadratowych), ogrodzenie jej obejmujące ma 1000 metrów długości. Jaka jest długość i szerokość działki?

Tworzymy równanie. Długość ogrodzenia to obwód miejsca, dlatego jeśli długość jest oznaczona przez X, a szerokość to Y, to 1000 = 2 * (X + Y). Obszar jest taki sam, czyli X * Y = 60000. Od pierwszego równania otrzymujemy X = 500 - Y. Zastępując je w drugim równaniu otrzymujemy (500 - Y) * Y = 60000, czyli 500Y - Y ² = 60000. Po rozwiązaniu równania, uzyskujemy boki równe 200 i 300 metrów - równanie kwadratowe ma dwa korzenie, z których jeden często nie jest odpowiedni dla warunku, na przykład jest ujemny, natomiast odpowiedź powinna być liczba naturalna dlatego weryfikacja jest obowiązkowa.

Powtórz: drzewa w ogrodzie

Naprawiając temat, rozwiązujemy inny problem. W ogrodzie znajduje się kilka jabłoni, 6 gruszek i kilka wiśni. Wiadomo, że całkowita liczba drzew jest 5 razy większa niż liczba jabłoni, podczas gdy 2 razy więcej wiśni niż jabłoni. Ile drzew jest każdego rodzaju w ogrodzie, a ile w ogrodzie są wszystkie drzewa?

Dla nieznanego X, jak prawdopodobnie już jest jasne, oznaczamy jabłonie, przez które możemy wyrazić inne ilości. Wiadomo, że Y = 2X, a Y + X + 6 = 5X. Podstawiając Y z pierwszego równania, otrzymujemy równość 2X + X + 6 = 5X, skąd X = 3, dlatego w ogrodzie Y = 3 * 2 = 6 wiśni. Sprawdzamy i odpowiadamy na drugie pytanie, dodając wynikowe wartości: 3 + 6 + 6 = 3 * 5, czyli problem jest rozwiązywany poprawnie.

Kontrola: suma liczb

Rozwiązywanie problemów za pomocą równania nie jest tak trudne, jak się wydaje na pierwszy rzut oka. Najważniejsze to nie pomylić się z wyborem nieznanego i, co ważniejsze, poprawnie wyrazić, zwłaszcza jeśli mówimy o systemie równań. Podsumowując, podany jest ostatni problem, znacznie bardziej zaangażowany niż te przedstawione powyżej.

Suma trzech liczb wynosi 40. Wiadomo, że X = 2Y + 3Z i Y = Z - 2/3. Czym są X, Y i Z równe?

Zacznijmy więc od pozbycia się pierwszego nieznanego. Zamiast X, zastępujemy odpowiednie wyrażenie równością, otrzymujemy 2Y + 3Z + Z + Y = 3Y + 4Z = 40. Następnie zastępujemy również znanego Y, aby uzyskać równość 3Z - 2 + 4Z = 40, skąd Z = 6. Wracając do Y, znajdujemy że jest równy 5,2, a X z kolei równy jest 18. Przy pomocy weryfikacji jesteśmy przekonani o prawdziwości wyrażenia, dlatego problem został rozwiązany poprawnie.

Wniosek

Jakie problemy rozwiązuje równanie? Czy są tak przerażające, jak się wydaje na pierwszy rzut oka? Nie ma mowy! Z należytą starannością ich zrozumienie nie jest trudne. A gdy zrozumiesz algorytm, w przyszłości będziesz mógł klikać podobne łamigłówki, nawet najbardziej zawiłe, jak nasiona. Najważniejsze jest uważność, to ona pomoże prawidłowo ustalić nieznane i czasem rozwiązując zestaw równań znajdzie odpowiedź.