Pryzmat jest jedną z idealnych figur wolumetrycznych, wraz z kulą, walcem i piramidą, których właściwości są rozpatrywane w specjalnej sekcji geometrii - stereometrii. W tym artykule omawiamy główne cechy prostopadłościanu.
Wiele osób wie o trójkątnych pryzmatach lub sześciokątnych, ale nie każda osoba ma jasne wyobrażenie o tym, co to jest w ogóle. W geometrii pod nim rozumiemy obiekt przestrzenny ograniczony dwoma identycznymi wielokątami i kilkoma czworokątami. Dwa wielokąty nazywane są podstawami pryzmatów. Leżą w równoległych płaszczyznach. Wszystkie czworokąty są równoległobokami i tworzą boczną powierzchnię figury.
Główne wzory i właściwości pryzmatu dotyczą kwestii określenia objętości, powierzchni jego powierzchni i liczby elementów tworzących figurę. Kompozycja tego ostatniego obejmuje wierzchołki, krawędzie i powierzchnie. Ilości tych pierwiastków są powiązane ze sobą za pomocą wyrażenia Eulera dla wielościanów. Ma następującą postać:
Liczba krawędzi = liczba ścian + liczba wierzchołków - 2
Ponieważ boczna powierzchnia pryzmatu jest zawsze reprezentowana przez równoległoboki, jej główna charakterystyka zależy od rodzaju wielokąta leżącego w podstawie tej figury. Jeśli wielokąt jest trójkątem, wówczas pryzmat nazywany jest trójkątem, jeśli czworobok jest czworokątny i tak dalej.
Jeśli kąt pomiędzy każdą stroną pryzmatu a jego podstawą wynosi 90 o , wówczas taka liczba nazywana jest prostokątem. Pamiętaj, że mówimy o kącie między bokami, a nie między żebrami. Często taka postać nazywana jest pryzmatem bezpośrednim.
Kiedy zaznaczony kąt wynosi 90 °, wszystkie równoległoboki automatycznie stają się prostokątami. Jest to kolejny powód, dla którego pryzmat nazywany jest prostokątem. Poniższy rysunek pokazuje, jak wygląda prostokątny pryzmat.
Widzimy tutaj, że każdy z trzech pryzmatów różni się od pozostałych typem wielokąta znajdującego się pod kształtem. Na rysunku pokazano pryzmy trójkątne, czworokątne i pięciokątne. Liczba prostokątów dla każdego z nich wynosi odpowiednio 3, 4 i 5.
Ważną właściwością prostokątnego pryzmatu, który odróżnia ją od ukośnego kąta, jest fakt, że długość jego bocznej krawędzi pokrywa się z wysokością figury. Ta właściwość jest bardzo wygodna przy obliczaniu jej powierzchni i objętości.
Każdy bezpośredni pryzmat, na którym leży zwykły wielokąt, nazywa się regularnym. Podany wielokąt musi mieć tę samą długość wszystkich boków i równych kątów. Taki prostokąt to trójkąt równoboczny, kwadrat, pięciokąt i tak dalej.
Poniższy rysunek pokazuje dwa pryzmaty. Lewy jest poprawny, ponieważ u podstawy jest kwadrat i jest prosty. Właściwa, mimo że prosta jest prosta, nie jest poprawna, ponieważ jej podstawą jest arbitralny czworobok.
Jedynym prawidłowym pryzmatem, który ma własną nazwę, jest sześcian. Uzyskuje się, gdy wysokość figury pokrywa się z długością boku kwadratu przy podstawie.
Ponieważ obszar dla zwykłego wielokąta jest łatwy do obliczenia, wówczas dla każdego zwykłego pryzma znane są formuły jego powierzchni i objętości.
Przed podaniem wzorów na powierzchnię i objętość prostopadłościanu należy wziąć pod uwagę zwykły wielokąt.
Poniższy rysunek przedstawia zestaw regularnych wielokątów, z wyjątkiem koła.
Widać, że dla każdego z nich liczba boków pokrywa się z liczbą narożników. Co więcej, wszystkie boki i kąty są takie same. Te właściwości pozwalają nam nadać formułę, która jest uniwersalna dla wszystkich regularnych wielokątów i pozwala nam obliczyć ich powierzchnię. Formuła ma postać:
S n = n / 4 * a 2 * ctg (pi / n)
Gdzie a jest długością boku, n jest liczbą boków (wierzchołków) kształtu. Symbol ctg oznacza cotangensową funkcję trygonometryczną.
Pokazujemy, jak używać tego wyrażenia. Na przykład obliczyć obszar trójkąta równobocznego. Dla niego n = 3, a następnie:
S 3 = 3/4 * a 2 * ctg (pi / 3) = 3/4 * a 2 * 1 / √3 = √ 3/4 * a 2
Teraz użyj tej formuły dla kwadratu. Mamy:
S 4 = 4/4 * a 2 * ctg (pi / 4) = a 2 * 1 = a 2
Znaczy to, że mamy dobrze znane wyrażenie kwadratu kwadratu.
Gdy podano geometryczną definicję danej figury, pokazano, że składa się ona z dwóch zasad i szeregu równoległoboków. Liczba ta jest dokładnie równa liczbie boków wielokąta u podstawy. Powierzchnię rozpatrywanej figury można zapisać za pomocą następującego wzoru:
S = 2 * S o + S b
Gdzie S o - obszar bazowy, Sb - powierzchnia boczna. Ponieważ ta ostatnia składa się z n równoległoboków, jej wartość jest równa sumie ich obszarów.
W przypadku zwykłego pryzmatu prostego powierzchnia boczna będzie utworzona przez prostokąty o bokach a i h, gdzie a jest długością boku podstawy, h jest wysokością pryzmatu. W przypadku n regularnego kwadratu otrzymujemy wzór dla obszaru S tot pryzmatu:
S tot = n / 2 * a 2 * ctg (pi / n) + n * a * h
Poniższy rysunek przedstawia skan sześciokątnej pryzmy.
Można zauważyć, że figura jest utworzona przez dwa regularne sześciokąty i sześć identycznych prostokątów, których jedna strona jest równa bokowi sześciokąta. Stosując powyższe wyrażenie dla tego pryzma, otrzymujemy:
S 6 tot = 6/2 * a 2 * ctg (pi / 6) + 6 * a * h = 3 * a * (√3 * a + 2 * h)
Objętość pryzmatu jest ogólnie obliczana przy użyciu następującej prostej formuły:
V = S o * h
W przypadku kształtu prostokątnego wysokość jest jego krawędzią, więc to wyrażenie jest łatwe do zastosowania. Na przykład obliczamy objętość dla trójkątnego prostopadłościanu. Obszar jego podstawy został już obliczony, jest równy:
S 3 = √3 / 4 * a 2
Następnie wartość objętości dla kształtu będzie następująca:
V = S 3 * h = √3 / 4 * a 2 * godz
Wzory prostego pryzmatu z regularnym wielokątem na dole pokazują, że wszystkie właściwości takich figur można uzyskać, znając tylko dwa parametry: długość boku n-gona i wysokość pryzmatu.