Ciało rzucono pod kątem do horyzontu: prędkość, zasięg i wysokość

W tym artykule przeanalizujemy sytuację, w której ciało rzucono pod kątem do horyzontu. To może być rzut kamieniem od ręki, strzał z armaty, wystrzelenie strzały z łuku i tak dalej. Wszystkie wymienione sytuacje opisywane są jednakowo z matematycznego punktu widzenia.

Funkcja ruchu pod kątem do horyzontu

Jakie są podobieństwa powyższych przykładów z punktu widzenia fizyki? Leży w naturze sił działających na ciało. Podczas swobodnego lotu określonego ciała działają na nim tylko dwie siły:

• Grawitacja.
• Opór powietrza

Jeśli masa ciała jest wystarczająco duża, a jej kształt jest spiczasty (pocisk, strzałka), wówczas opór powietrza można zaniedbać.

Tak więc ruch obiektu rzucanego pod kątem do horyzontu ciała jest zadaniem, w którym pojawia się tylko siła grawitacji. To właśnie określa kształt trajektorii, którą z dużą dokładnością opisuje funkcja paraboliczna.

Równania ruchu po trajektorii parabolicznej. Prędkość

Ciało jest rzucane pod kątem do horyzontu. Jak możesz opisać jego ruch? Ponieważ jedyna siła działająca podczas lotu ciała jest skierowana w dół, jego pozioma składowa wynosi zero. Fakt ten oznacza, że ​​poziomy ruch obiektu jest jednoznacznie określony przez warunki początkowe (kąt rzutu lub strzał θ i prędkość v). Pionowy ruch ciała jest żywym przykładem równomiernie przyspieszonego ruchu, gdzie stała g odgrywa rolę w przyspieszeniu (9,81 m / s ² ).

Biorąc pod uwagę powyższe, możemy napisać dwa elementy dla prędkości lecącego ciała w czasie t:

v _x = v * cos (θ);

v _y = v * sin (θ) - g * t

Jak widać, składnik v _x nie zależy od czasu i pozostaje stały na całej trajektorii lotu (z powodu braku sił zewnętrznych w kierunku osi x). Komponent v _y ma maksymalną wartość w początkowym momencie. A potem zaczyna się zmniejszać, do tego stopnia, że ​​znika w maksymalnym punkcie startu ciała. Następnie zmienia swój znak iw momencie upadku okazuje się być równy modułowi początkowego składnika _vy , czyli v * sin (θ).

Zapisane równania pozwalają nam określić prędkość ciała rzucanego pod kątem do horyzontu w dowolnym momencie t. Jego moduł będzie równy:

v = √ (v _x ² + v _y ² ) = √ (v ² * cos ² (θ) + v ² * sin ² (θ) - 2 * v * sin (θ) * g * t + g ² * t ² ) =

= √ (v ² - 2 * v * sin (θ) * g * t + g ² * t ² )

Równania ruchu po trajektorii parabolicznej. Zakres lotów

Ciało jest rzucane pod kątem do horyzontu. Jaka odległość będzie latać? Kwestia zasięgu lotu dotyczy zmiany współrzędnej x. Możliwe jest znalezienie tej wartości, jeśli zintegrujemy oba składniki prędkości w czasie. W wyniku integracji otrzymujemy formuły:

x = v * cos (θ) * t + x ₀ ;

y = v * sin (θ) * t - g * t 2/2 + y ₀

Różnica we współrzędnych x i x ₀ to zakres. Jeśli przyjmiemy, że x ₀ = 0, wówczas zakres będzie równy x, aby ustalić, które z nich muszą wiedzieć, jak długo ciało będzie w powietrzu.

Drugie równanie pozwala obliczyć ten czas, pod warunkiem, że znana _jest wartość y ₀ (wysokość h, z której wyrzucane jest ciało). Kiedy obiekt zakończy swój ruch (spadnie na ziemię), jego współrzędna y zmieni się na zero. Oblicz czas, kiedy to się stanie. Mamy:

v * sin (θ) * t - g * t 2/2 + h = 0

Przed nami jest pełna kwadratowa równość. Rozwiążemy to poprzez dyskryminację:

D = v ² * sin ² (θ) - 4 * (-g / 2) * h = v ² * sin ² (θ) + 2 * g * h;

t = (-v * sin (θ) ± √D) / (2 * (-g / 2))

Odrzucamy negatywny root. Otrzymujemy następujący czas lotu:

t = (v * sin (θ) + √ (v ² * sin ² (θ) + 2 * g * h)) / g

Teraz zmienimy tę wartość na równość dla zasięgu lotu. Otrzymujemy:

x = v * cos (θ) * (v * sin (θ) + √ (v ² * sin ² (θ) + 2 * g * h)) / g

Jeśli ciało zostanie rzucone z ziemi, to jest h = 0, wówczas ta formuła będzie znacznie prostsza. I weź formę:

x = 2 * v ² * cos (θ) * sin (θ) / g = v ² * sin (2 * θ) / g

Ostatnie wyrażenie uzyskano za pomocą połączenia między trygonometrycznymi funkcjami sinusa i cosinusu (formuła redukcji).

Ponieważ sinus ma wartość maksymalną dla kąta prostego, wtedy maksymalny zasięg osiąga się, gdy ciało jest rzucane (strzał) z ziemi pod kątem 45 °, a ten zakres jest równy:

x = v ² / g

Wysokość ciała, rzucona pod kątem do horyzontu

Teraz definiujemy kolejny ważny parametr - wysokość, na jaką może się wspiąć porzucony obiekt. Oczywiście, aby to zrobić, wystarczy rozważyć tylko zmianę współrzędnej y.

Ciało zostało rzucone pod kątem do horyzontu, na jaką wysokość by to wystartowało? Wysokość ta będzie odpowiadać równości zerowej składowej prędkości v _y . Mamy równanie:

v _y = v * sin (θ) - g * t = 0

Rozwiąż równanie. Otrzymujemy:

t = v * sin (θ) / g

Teraz powinieneś zastąpić ten czas wyrażeniem dla współrzędnej y. Otrzymujemy:

y = v * sin (θ) * t - g * t 2/2 + h = v ² * sin ² (θ) / g - g / 2 * v ² * sin ² (θ) / g ² + h =

= v ² * sin ² (θ) / (2 * g) + godz

Ta formuła sugeruje, że maksymalną wysokość, w przeciwieństwie do zakresu lotu, uzyskuje się, rzucając ciało pionowo (θ = 90). W tym przypadku dochodzimy do wzoru:

y = v ² / (2 * g) + godz

Ciekawe, że we wszystkich formułach podanych w tym artykule masa ciała się nie pojawia. Charakterystyka trajektorii parabolicznej jest niezależna od niej, ale tylko przy braku oporu powietrza.