Co to jest orzeczenie: definicja i przykłady

Co to jest predykat? Słowo to znajduje się w językoznawstwie, matematyce, filozofii i programowaniu. Ale czy nie może tak być, że w tych bardzo różnych naukach to słowo ma to samo znaczenie? Logika matematyczna podaje własną specjalną interpretację tego pojęcia. Zacznijmy od tego.

Predykat w matematyce

W logice matematycznej predykat jest zwykle rozumiany jako funkcja P: X → {true, false}, nazywana predykatem X. Jednak predykaty mają wiele różnych zastosowań i interpretacji w matematyce i logice, a ich dokładna definicja, znaczenie i zastosowanie będą się różnić od teorii do teorii. Na przykład, jeśli teoria definiuje pojęcie relacji, to predykat jest po prostu funkcją charakterystyczną, znaną również jako funkcja wskaźnikowa relacji. Jednak nie wszystkie teorie są powiązane lub oparte na teorii mnogości, więc musisz być ostrożny z właściwą definicją i semantyczną interpretacją predykatu.

Prawda czy fałsz

Jeśli nadal nie rozumiesz, co jest predykatem w matematyce, warto się nad tym rozwodzić bardziej szczegółowo. Nieformalnie predykat jest stwierdzeniem, które może być prawdziwe lub fałszywe, w zależności od wartości jego zmiennych. Można go traktować jako operator lub funkcję, która zwraca wartość, która jest prawdziwa lub fałszywa. Na przykład, predykaty są czasem używane do określenia zestawu elementów: mówiąc o zestawach, czasem jest niewygodne lub niemożliwe do opisania zestawu przez wylistowanie wszystkich jego elementów. Tak więc predykat P (x) będzie prawdziwy lub fałszywy, w zależności od tego, czy x należy do zbioru.

Właściwości obiektu

Predykaty w logice matematycznej są również szeroko używane do mówienia o właściwościach obiektów, definiując zbiór wszystkich obiektów, które mają wspólną właściwość. Tak więc, na przykład, gdy P jest predykatem X, czasami można powiedzieć, że P jest właściwością X. Podobnie, notacja P (x) jest używana do oznaczenia zdania lub zdania P względem obiektu zmiennej X. Zbiór zdefiniowany przez P (x) jest zapisany jako { x | P (x)} i jest zbiorem obiektów, dla których P jest prawdziwe.

Na przykład {x | x jest dodatnią liczbą całkowitą mniejszą niż 4} jest zbiorem {1,2,3}.

Jeśli t jest elementem zbioru {x | P (x)}, wtedy stwierdzenie P (t) jest prawdziwe.

Tutaj P (x) jest nazywany predykatem, a x jest symbolem zastępczym. Czasami P (x) zwane jest także funkcją zdaniową, ponieważ każdy wybór za pomocą X tworzy zdanie.

Prosta forma predykatu (P) jest wyrażeniem boolowskim iw tym przypadku dane wejściowe do wyrażenia są same wartościami połączonymi za pomocą operacji logicznych. Wyrażenie boolowskie z zestawem prawdy predykatów jest bardziej złożonym zjawiskiem.

Formalna definicja

• Dokładna interpretacja semantyczna wzoru atomowego i zdania atomowego będzie różna w zależności od teorii.
• W logice zdaniowej formuły atomowe nazywane są zmiennymi zdaniowymi. W pewnym sensie są to predykaty o zerowych wartościach.
• W logice pierwszego rzędu formuła atomowa składa się z symbolu predykatu stosowanego do odpowiedniej liczby członków.
• W teorii mnogiej predykaty są rozumiane jako funkcje charakterystyczne lub definiują funkcje wskaźnika, to znaczy funkcje od danego elementu do wartości prawdy.
• Metoda konstruowania typów sądów używa predykatów do ich określenia.
• W logice auto-epistemicznej, która odrzuca prawo wykluczonego środka, predykaty mogą być prawdziwe, fałszywe lub po prostu nieznane, to znaczy ten zbiór faktów może nie być wystarczający do ustalenia prawdziwości lub fałszu orzeczenia.
• W logice rozmytej predykaty są charakterystycznymi funkcjami rozkładu prawdopodobieństwa. Oznacza to, że ścisłe prawdziwe / fałszywe oszacowanie orzeczenia jest zastąpione wartością interpretowaną jako stopień prawdy.

Predykcja gramatyki

W teoriach gramatycznych istnieją dwa konkurencyjne pojęcia predykatów. Konkurencja między tymi dwiema koncepcjami spowodowała zamieszanie dotyczące użycia terminu "orzecznik" w teoriach gramatycznych. Czym jest predykat? W tym artykule omówiono obie te koncepcje.

Pierwsza koncepcja odnosi się do tradycyjnej gramatyki, która uważa predykat za jedną z dwóch głównych części zdania, druga jest przedmiotem. Celem predykatu jest uzupełnienie idei podmiotu, na przykład, co robi i czym jest.

Druga koncepcja została wyprowadzona z pracy w rachunku predykatów (logika predykatów, logika pierwszego rzędu) i jest widoczna we współczesnych teoriach składni i gramatyki. W tym podejściu predykat zdania zasadniczo odpowiada głównemu czasownikowi i wszelkim środkom pomocniczym, które towarzyszą głównemu czasownikowi. Jednocześnie jego argumenty (na przykład wyrażenia rzeczownikowe) są poza predykatem.

W tradycyjnej gramatyce

Koncepcja P w gramatyce tradycyjnej jest inspirowana przez logikę zdaniową starożytności (w przeciwieństwie do bardziej nowoczesnej logiki predykatów). Predykat jest uważany za właściwość, którą ma podmiot. Dlatego predykat jest wyrażeniem, które może być prawdziwe. Tak więc wyrażenie "ruchy" odnosi się do wszystkiego, co się rusza. Daje to odpowiedź na pytanie, czym jest predykat.

Takie klasyczne rozumienie predykatów przyjęto mniej lub bardziej bezpośrednio w gramatykach łacińskich i greckich, a stamtąd wpadło ono w gramatykę języków angielskiego i rosyjskiego, gdzie zastosowano je bezpośrednio do analizy struktury zdania. Takie rozumienie P jest również używane w słownikach anglojęzycznych.

Temat i orzeczenie

Predykat jest jedną z dwóch głównych części zdania (drugą jest podmiot, który modyfikuje orzeczenie). Musi zawierać czasownik, a czasownik wymaga lub pozwala innym elementom wypełnić predykat.

Predykat dostarcza informacji o temacie: czym jest, co robi podmiot, lub czym jest obiekt. Związek między podmiotem a jego orzeczeniem jest czasem nazywany językiem predykatów. Jego wartość nominalna jest frazą rzeczownikową. Na przykład, w zdaniu "George III - King of England", król Anglii jest orzecznikiem nominalnym. Temat i wartość orzecznicza musi być połączona z czasownikiem łączącym, zwanym również kopulą. Temat i przymiotnik orzecznika również muszą być powiązane.

W składni

Syntaktyczny P wskazuje na syntaktyczną słuszność użycia dzieła w gramatyce formalnej i jest podobny do semantycznego predykatu, który określa semantyczną rzeczywistość zastosowania dzieła. We wstępnej implementacji predykaty składniowe miały formę "(α)?" I mogły pojawiać się tylko na lewej krawędzi dzieła. Niezbędnym warunkiem składniowym α może być dowolny prawidłowy, pozbawiony kontekstu fragment gramatyki.

Formalnie, predykat składniowy jest formą przecięcia produkcji używaną w specyfikacji parsera lub w gramatyce formalnej. W tym sensie termin ten ma znaczenie matematycznej funkcji wskaźnika. Jeśli p1 i p2 są regułami produkcji, język wygenerowany przez oba p1 i p2 jest ich danym przecięciem.

Odblaskowe wyrażenia gramatyczne (PEG), wymyślone przez Briana Forda, rozszerzają te proste P, pozwalając im pojawiać się w dowolnym miejscu produkcji wraz z "nie-predykatami". Co więcej, Ford opracował procedurę parsowania do przetwarzania gramatyk w czasie liniowym.

To podejście jest zaimplementowane w ANTLR w wersji 3, która wykorzystuje deterministyczne maszyny stanu do przeglądania. Może to wymagać przetestowania predykatu w celu wyboru między zmianami składniowymi (tak zwane "parsowanie przed LL (*)").

W nowoczesnych teoriach składni

Większość współczesnych teorii składni i gramatyki pochodzi z teorii rachunku predykatów związanego z Gottlobem Frege. Zrozumienie to traktuje predykaty jako relacje lub funkcje, które stoją ponad argumentami. Są one używane do przypisywania właściwości do jednego argumentu lub do łączenia dwóch lub więcej argumentów ze sobą. Propozycje składają się z predykatów i ich argumentów (i dodatków), a zatem są strukturami argumentu predykatów. Zgodnie z nimi, ten P jest uważany za łączący swoje argumenty z większą strukturą.

Predykaty są umieszczane po lewej stronie nawiasów, a ich argumenty są umieszczone w nawiasach. Rozpoznano wartościowość predykatów, zgodnie z którą może być dostępna (nie pokazano), jednowartościowa, dwuwartościowa lub trójwartościowa. Tego typu reprezentacje są podobne do formalnych analiz semantycznych, gdzie mówimy o prawidłowym rozliczaniu faktów kwantyfikatorów i operatorów logicznych. Jednakże w odniesieniu do podstawowej struktury zdania, te idee zakładają przede wszystkim, że czasowniki są predykatami, a zwroty rzeczownikowe, z którymi się pojawiają, są ich argumentami. Przy takim rozumieniu zdania binarny podział zdania na podmiot NP i predykat VP jest prawie niemożliwy. Zamiast tego czasownik jest predykatem, a rzeczowniki - jego argumentami.

W logice

Logika pierwszego rzędu, znana również jako rachunek predykatów pierwszego rzędu i logika predykatów, to zbiór systemów formalnych stosowanych w matematyce, filozofii, lingwistyce i informatyce. Logika pierwszego rzędu używa skwantyzowanych zmiennych nad obiektami i pozwala na użycie zdań zawierających zmienne. To odróżnia ją od logiki zdaniowej, która nie używa kwantyfikatorów ani relacji.

Logika pierwszego rzędu

Takie teorie, z reguły, są częścią logiki pierwszego rzędu, wraz z pewnym obszarem dyskursu, w którym zmienne ilościowe są różne. Czasami teoria jest rozumiana w bardziej formalny sposób, a to tylko zbiór zdań w logice pierwszego rzędu.

Zastosowane przymiotniki odróżniają logikę pierwszego rzędu od logiki wyższego rzędu, w której występują ,, posiadające zdefiniowane predykaty lub funkcje jako argumenty lub w których dozwolony jest jeden lub oba kwantyfikatory predykatów lub kwantyfikatory funkcji. W teoriach pierwszego rzędu predykaty często są kojarzone z zestawami. W interpretowalnych teoriach wyższego rzędu można je interpretować jako zbiory. Coś podobnego jest używane w definicji predykatu w programowaniu. Nie jest to zaskakujące, ponieważ matematyka stała się rodzajem surowca dla tej nauki.

Część teoretyczna

Istnieje wiele systemów dedukcyjnych dla rodzajów sądów i logiki pierwszego rzędu, które są zarówno dźwiękowe (wszystkie możliwe do wykazania stwierdzenia są prawdziwe we wszystkich modelach), jak i kompletne (można stwierdzić, że wszystkie modele są prawdziwe). Chociaż relacja logicznej konsekwencji jest tylko częściowo rozpuszczalna, w zautomatyzowanym twierdzeniu udowodnionym w logice pierwszego rzędu osiągnięto znaczny postęp. Logika pierwszego rzędu spełnia również kilka twierdzeń metalogicznych, które nadają się do analizy w teorii dowodu, takich jak twierdzenie Levenheim-Skolem i twierdzenie o zwartości.

Logika pierwszego rzędu jest standardem formalizacji matematyki w aksjomatach i jest studiowana w podstawach matematyki. Arytmetyka arytmetyki Peano i teoria mnogości Zermelo-Fraenkela to aksjomatyzacje teorii liczb i teorii mnogości, stanowiące część logiki pierwszego rzędu. Jednak teoria pierwszego rzędu nie ma na przykład możliwości unikalnego opisu struktury z nieskończonym regionem liczby naturalne. Systemy aksjomatyczne, które w pełni opisują te dwie struktury (tj. Kategoryczne systemy aksjomatyczne), można uzyskać w mocniejszych formach logicznych, takich jak logika drugiego rzędu.

Podstawy logiki pierwszego rzędu zostały opracowane niezależnie przez Gottloba Fregego i Charlesa Sandersa Pierce'a.