Wszystkie subtelności, jak obliczyć obszar równoległościanu
Równoległościany są najczęstszą postacią wśród ludzi. Większość lokali to jego. Szczególnie ważne jest poznanie obszaru równoległościanu, przynajmniej jego powierzchni bocznych, podczas naprawy. W końcu musisz dokładnie wiedzieć, ile materiału kupić.
Jaki on jest?
Jest to pryzmat z czworokątną podstawą. Dlatego ma cztery boczne ściany, które są równoległobokami. Oznacza to, że takie ciało ma tylko 6 twarzy.
Aby określić równoległościan w przestrzeni, określa on obszar i objętość. Pierwszy może być zarówno osobno dla każdej powierzchni i dla całej powierzchni. Ponadto emituj więcej i tylko boczne powierzchnie.
Jakie są typy równoległościanów?
Pochyły. Jeden, w którym boczne powierzchnie tworzą kąt z podstawą, która różni się od 90 stopni. Górny i dolny czworokąta nie leżą naprzeciwko siebie, lecz są przesunięte.
Bezpośredni. Równoległościany, których boczne powierzchnie są prostokąty, a u podstawy - figura z dowolnymi kątami.
Prostokątny. Specjalny przypadek poprzedniego typu: w jego podstawie znajduje się prostokąt.
Cube Specjalny rodzaj równoległościanu, w którym wszystkie twarze są reprezentowane przez kwadraty.
Niektóre cechy matematyczne równoległościanu
Sytuacja może się pojawić, gdy są one przydatne w znalezieniu obszaru równoległościanu.
- Krawędzie leżące naprzeciw siebie są nie tylko równoległe, ale równe.
- Przekątna punktu przecięcia równoległościanu jest podzielona na równe części.
- W bardziej ogólnym przypadku, jeśli odcinek łączy dwa punkty na powierzchni ciała i przechodzi przez punkt przecięcia przekątnych, wówczas jest dzielony na pół przez ten punkt.
- Dla prostokątnego prostopadłościanu obowiązuje równość, w której w jednej części znajduje się kwadrat przekątnej, a w drugiej suma kwadratów jego wysokości, szerokości i długości.
Kwadrat równoległościan
Jeśli oznaczymy wysokość ciała jako "n", a obwód bazowy za pomocą litery oc oc , wówczas całą powierzchnię boczną można obliczyć według wzoru:
Strona S = P oc * n
Korzystając z tego wzoru i określając obszar podstawy, możemy policzyć całkowity obszar:
S = strona S + 2 * S oc
W ostatnim wpisie S oc ., To znaczy obszar podstawy równoległościanu, można obliczyć za pomocą wzoru na równoległobok. Innymi słowy, potrzebujesz wyrażenia, w którym musisz pomnożyć stronę i wysokość obniżoną na nią.
Kwadrat równoległościan
Przyjmuje się standardowe oznaczenie długości, szerokości i wysokości takiego ciała z literami "a", "b" i "c". Obszar powierzchni bocznej wyraża się za pomocą następującego wzoru:
S bok = 2 * s * (a + b)
Aby obliczyć całkowity obszar prostokątnego równoległościanu, potrzebujemy następującego wyrażenia:
S = 2 * (aw + bs + as)
Jeśli okaże się, że konieczne jest poznanie obszaru jego podstawy, wystarczy pamiętać, że jest to prostokąt, co oznacza, że wystarczy pomnożyć "a" i "c".
Kostka kwadratowa
Jego powierzchnia boczna jest utworzona przez cztery kwadraty. Aby go znaleźć, musisz użyć znanej formuły kwadratu i pomnożyć ją przez cztery.
S bok = 4 * a 2
Ze względu na to, że jego podstawy są tymi samymi kwadratami, łączna powierzchnia jest określona wzorem:
S = 6 * a 2
Skośne Równoległościany Kwadraty
Ponieważ jego twarze są równoległobokami, musisz znaleźć obszar każdego z nich, a następnie go złożyć. Na szczęście przeciwne są równe. Dlatego musisz obliczyć obszar tylko trzy razy, a następnie pomnożyć je przez dwa. Jeśli napiszesz to w formie formuły, otrzymasz następujące informacje:
S bok = (S 1 + S 2 ) * 2,
S = (S 1 + S 2 + S 3 ) * 2
W tym przypadku S 1 i S 2 to powierzchnie dwóch ścian bocznych, a S 3 to zasady.
Powiązane zadania
Pierwsze zadanie. Stan Musisz znać długość sześciokątna kostka, jeśli powierzchnia całej powierzchni wynosi 200 mm 2 .
Decyzja. Musimy zacząć od uzyskania wyrażenia dla pożądanej wartości. Jego kwadrat jest równy trzem kwadratom boku sześcianu. Oznacza to, że przekątna jest równa "a" pomnożona przez pierwiastek z 3.
Ale strona kostki jest nieznana. Tutaj musisz skorzystać z tego, że znana jest cała powierzchnia. Z formuły okazuje się, że "a" jest równe pierwiastek kwadratowy z prywatnych S i 6.
Pozostaje tylko liczyć. Krawędź sześcianu wynosi √ (200/6), czyli 10 / √3 (mm). Następnie przekątna będzie równa (10 / √3) * √3 = 10 (mm).
Odpowiedź jest. Przekątna sześcianu wynosi 10 mm.
Drugie zadanie. Stan Trzeba obliczyć powierzchnia sześcianu, jeżeli wiadomo, że jego objętość wynosi 343 cm2.
Decyzja. Będziesz musiał użyć tej samej formuły dla obszaru kostki. Znów jest to nieznana krawędź ciała. Ale biorąc pod uwagę głośność. Ze wzoru na kostkę bardzo łatwo jest nauczyć się "a". Będzie równy sześcienny korzeń z 343. Proste obliczenie daje wartość krawędzi: a = 7 cm.
Teraz pozostaje policzyć swój kwadrat i pomnożyć przez 6. a 2 = 7 2 = 49, stąd powierzchnia będzie równa 49 * 6 = 294 (cm 2 ).
Odpowiedź jest. S = 294 cm2.
Trzecie zadanie. Stan Podano regularny pryzmat czworokątny o podstawie 20 dm. Konieczne jest znalezienie jego krawędzi bocznej. Wiadomo, że powierzchnia równoległościanu jest równa 1760 dm 2 .
Decyzja. Rozpocznij rozumowanie za pomocą wzoru na powierzchnię całej powierzchni ciała. Tylko w tym przypadku należy wziąć pod uwagę, że krawędzie "a" i "b" są równe. Wynika to z twierdzenia, że pryzmat jest prawidłowy. A więc u jego podstawy leży czworobok z równymi bokami. Stąd a = c = 20 dm.
Biorąc pod uwagę tę okoliczność, wzór obszaru jest uproszczony do tego:
S = 2 * (a 2 + 2c).
W nim wszystko jest znane, z wyjątkiem pożądanej wartości "c", która jest dokładnie boczną krawędzią równoległościanu. Aby go znaleźć, musisz wykonać konwersję:
- podziel całą nierówność przez 2;
- następnie przenieś warunki tak, aby lewy był 2as, a po prawej obszar podzielony przez 2 i kwadrat "a", przy czym ten ostatni jest oznaczony "-";
- następnie podziel równość przez 2a.
Wynikiem jest wyrażenie:
c = (s / 2 - a 2 ) / (2a)
Po podstawieniu wszystkich znanych wartości i wykonaniu akcji okazuje się, że krawędź boczna wynosi 12 dm.
Odpowiedź jest . Bok boczny "c" wynosi 12 dm.
Czwarte zadanie. Stan Biorąc pod uwagę prostokątny równoległościan. Jedna z jego powierzchni ma powierzchnię 12 cm 2 . Konieczne jest obliczenie długości krawędzi, która jest prostopadła do tej powierzchni. Dodatkowy stan: objętość ciała 60 cm 3 .
Decyzja. Niech znany jest obszar tej twarzy, który znajduje się naprzeciwko obserwatora. Jeśli do oznaczenia wzięto standardowe litery o wymiarach równoległościennych, to u podstawy żebra będą "a" i "b", pionowe - "c". Na tej podstawie obszar znanej powierzchni jest definiowany jako produkt "a" na "c".
Teraz musisz użyć znanego woluminu. Jego wzór na prostokątny równoległościan daje iloczyn wszystkich trzech wielkości: "a", "in" i "c". Oznacza to, że znany obszar, pomnożony przez "in", podaje objętość. Stąd okazuje się, że pożądaną krawędź można obliczyć z równania:
12 * = 60.
Obliczenia elementarne dają wynik 5.
Odpowiedź jest. Pożądana krawędź wynosi 5 cm.
Piąte zadanie. Stan Biorąc pod uwagę prosty równoległościan. U podstawy znajduje się równoległobok o bokach 6 i 8 cm, którego kąt ostry wynosi 30 °. Boczna krawędź ma długość 5 cm, jest wymagana do obliczenia całkowitej powierzchni równoległościanu.
Decyzja. Dzieje się tak, gdy musisz osobno poznać obszar wszystkich twarzy. Albo, bardziej precyzyjnie, trzy pary: podstawa i dwie strony.
Ponieważ równoległobok znajduje się u podstawy, jego powierzchnia jest obliczana jako iloczyn boku i wysokości do niego. Bok jest znany, ale wysokość nie jest. To musi być policzone. Będzie to wymagało ostrej wartości kąta. Wysokość tworzy się w równoległoboku trójkąt prostokątny. W nim noga równa się iloczynowi sinusa kąta ostrego, który jest przeciwny do niego, przez przeciwprostokątną.
Niech słynna strona równoległoboku będzie "a". Wtedy wysokość zostanie zapisana jako * sin 30º. Tak więc podstawą obszaru jest * c * sin 30º.
Dzięki bocznym krawędziom wszystko jest łatwiejsze. Są to prostokąty. Dlatego ich obszar jest produktem jednej strony na drugą. Pierwszy - a * s, drugi - w * s.
Pozostaje połączyć wszystko w jedną formułę i liczyć:
S = 2 * (a * b * sin 30º + a * s + b * s)
Po zastąpieniu wszystkich wielkości okazuje się, że wymagany obszar to 188 cm 2 .
Odpowiedź jest. S = 188 cm2.