Cechy rozwiązywania problemów związanych z określaniem prędkości rzeki. Przykłady rozwiązań
Jednym z fascynujących problemów w matematyce i fizyce, który nauczyciel proponuje rozwiązać uczniom, jest problem określania prędkości przepływu rzeki. W tym artykule rozważymy cechy rozwiązania tych problemów i podamy kilka konkretnych przykładów.
Jakie zadania zostaną omówione?
Wszyscy wiedzą, że woda w rzece ma pewien przepływ. Płaskie rzeki (Don, Volga) płyną stosunkowo wolno, podczas gdy małe górskie rzeki odznaczają się silnym prądem i obecnością lejów wodnych. Każdy obiekt pływający, który zostanie wrzucony do rzeki, odejdzie od obserwatora z prędkością przepływu rzeki.
Ludzie kąpiący się w rzece wiedzą, że pływanie pod prąd jest bardzo trudne. Aby poruszyć się o kilka metrów, musisz włożyć znacznie więcej wysiłku niż podczas poruszania się w stojącej wodzie jeziora. Przeciwnie, przepływ odbywa się przy praktycznie zerowym zużyciu energii. Wystarczy utrzymać ciało na powierzchni.
Wszystkie te cechy pozwalają nam wyciągnąć następujący ważny wniosek: jeśli ciało poruszające się z prędkością v w wodzie stojącej porusza się w korycie rzeki, jego prędkość względem wybrzeża będzie równa:
- v + u dla przepływu;
- v - u dla ruchu przeciw prądowi.
Tutaj jest prędkość przepływu.
Jeśli ciało porusza się pod pewnym kątem do przepływu, wynikowy wektor jego prędkości będzie równy sumie wektorów v¯ i u¯.
Formuły do zapamiętania
Oprócz powyższych informacji, aby rozwiązać problemy z prędkością rzeki należy pamiętać o kilku formułach. Wymieniamy je.
Prędkość prądu jest wartością stałą, ale prędkość ciała (łódź, łódź, pływak) w ogólnym przypadku może być różna, zarówno pod względem wielkości, jak i kierunku. W celu uzyskania jednolitego ruchu prostoliniowego obowiązuje następujący wzór:
S = v * t
Gdzie S jest przebytą odległością, v jest prędkością ruchu ciała. Jeśli ruch występuje z przyspieszeniem a, należy zastosować formułę:
S = a * t 2/2
Oprócz tych formuł, aby z powodzeniem rozwiązywać problemy, należy mieć możliwość korzystania z funkcji trygonometrycznych podczas dekompozycji wektorów prędkości na komponenty.
Teraz zajmiemy się rozwiązywaniem konkretnych problemów.
Zadanie z łodzią i rybakiem
Jeden rybak postanowił udać się na swoją łódź bez silnika w kierunku przeciwnym do przepływu rzeki na odległość 2 kilometrów. W stojącej wodzie pokonałby ten dystans w 30 minut, ale kiedy jechał wzdłuż rzeki, potrzebowałby pełnej godziny. Konieczne jest ustalenie, jaka jest prędkość przepływu rzeki.
Ponieważ prędkość wody w rzece jest nieznana, oznaczamy ją literą x. Prędkość łodzi jest również nieznana, ale można ją obliczyć przy użyciu wartości z warunku ruchu w wodzie stojącej. Zdobądź dla prędkości v łodzi:
v = S / t1 = 2 / 0,5 = 4 km / h
Znaleźliśmy prędkość, z jaką rybak na łodzi może nawigować spokojnym jeziorem. Aby znaleźć prędkość łodzi względem prądu, należy odjąć wartość x od znalezionej wartości. Następnie, aby wejść do rzeki, możemy zapisać następujące równanie:
S = (4 - x) * t 2
Wyraź stąd wartość nieznanego parametru, mamy:
x = 4 - S / t 2
Pozostaje zastąpić liczby od stanu problemu i zapisać odpowiedź:
x = 4 - S / t 2 = 4 - 2/1 = 2 km / h
Tak więc prędkość prądu w rzece jest o połowę niższa od prędkości łodzi.
Zadanie z motorówką
Motorówka sprawia, że codziennie przechodzą na rzece z punktu A do punktu B. Odległość między A i B wynosi 7 km. Wiadomo, że prędkość łodzi w dół wynosi 8 km / h. Jaka jest prędkość prądu, jeśli łódź spędza 10 minut więcej czasu w drodze w dół rzeki, niż podczas jej podnoszenia?
W tym przypadku nie znamy ani prędkości łodzi motorowej, ani prędkości wody w rzece. Oznacz pierwszy jako y, a drugi jako x. Następnie możesz zapisać następujące cztery równania:
x + y = 8;
S / t1 = x + y;
S / t2 = y - x;
t 2 - t 1 = 1/6
Pierwsze równanie odzwierciedla prędkość łodzi w dół, a drugie i trzecie równania odnoszą się do czasu i prędkości, odpowiednio podczas ruchu w dół iw górę rzeki. Czwarte równanie wynika ze stanu problemu różnicy czasu pomiędzy ścieżką do przodu i do tyłu pomiędzy punktami A i B.
Po pierwsze, z tych równań wynika czas t 1 i t 2 :
t1 = 7/8 = 0,875 h;
t 2 = 1/6 + 7/8 = 1,0417 godz
Aby określić prędkość x wody w rzece, odejmij trzecie równanie od drugiego, otrzymujemy:
S / t 1 - S / t 2 = 2 * x =>
x = S / 2 * (1 / t 1 - 1 / t 2 )
Zastępując obliczone wartości t 1 it 2 w tej równości, a także odległość między punktami S, widzimy, że woda w rzece płynie z prędkością 0,64 km / h.
Zadanie: ruch łodzi pod kątem do prądu
Teraz rozwiązujemy problem, który wymaga umiejętności korzystania z formuł trygonometrycznych.
Łódź zaczęła przesuwać się z jednego brzegu rzeki do drugiego pod kątem 60 o względem prądu. Prędkość łodzi w wodzie stojącej wynosi 10 km / h. Prędkość prądu wynosi 2 km / h. Konieczne jest ustalenie, jak daleko łódź będzie się poruszać wzdłuż wybrzeża, docierając do przeciwległej strony rzeki. Szerokość koryta rzeki wynosi 500 metrów.
Zadanie to należy rozwiązać, dzieląc ścieżkę łodzi na dwie części: prostopadłą i równoległą do wybrzeża. Używając danych zadania, dla prostopadłego komponentu ścieżki, możesz napisać wyrażenie:
v * sin (60 o ) * t = S 1
Gdzie v jest prędkością łodzi, S 1 jest szerokością rzeki. Zastępując dane, znajdujemy czas, kiedy łódź była w drodze:
t = S 1 / (v * sin (60 o )) = 0,0577 godz
Aby obliczyć ścieżkę S 2 równolegle do brzegu, prędkość przepływu powinna zostać dodana do rzutu poziomego prędkości łodzi, następnie odpowiednia równość będzie wynosić:
S 2 = (v * cos (60 o ) + 2) * t
Zastępując znane wartości, otrzymujemy odpowiedź: łódź wzdłuż wybrzeża pokona 404 metry.