Jak obliczyć obszar trójkąta

Trójkąt jest dobrze znaną postacią. I to pomimo bogatej różnorodności form. Prostokątny, równoboczny, ostry, równoboczny, tępy. Każdy jest inny. Ale dla każdego musisz znać obszar trójkąta.

Wspólne dla wszystkich formuł trójkątów, które używają długości boków lub wysokości

Przyjęte w nich oznaczenia: strony - a, b, c; wysokości na odpowiednich bokach n _i , n _in , n _z .

1. Obszar trójkąta jest obliczany jako iloczyn ½, boki i wysokość obniżona na nim. S = ½ * a * n _a . Podobnie powinieneś napisać formułę dla dwóch pozostałych stron.

2. Wzór Herona, w którym pojawia się pół-obwód (zwykle jest oznaczony małą literą p, w przeciwieństwie do pełnego obwodu). Pół-obwód musi być policzony w następujący sposób: złożyć wszystkie strony i podzielić je przez 2. Wzór pół-obwodowy: p = (a + b + c) / 2. Następnie równość dla obszaru rysunku wygląda następująco: S = √ (p * (p - a) * ( p - c) * (p - c)).

3. Jeśli nie chcesz używać pół-obwodu, przydatna jest formuła, w której występują tylko długości boków: S = ¼ * √ (((a + b + c) * (b + c - a) * (a + c - b) * (a + b - c)). Jest nieco dłuższy niż poprzedni, ale pomoże, jeśli zapomnisz znaleźć pół-obwód.

Ogólne wzory, w których pojawiają się kąty trójkąta

Oznaczenia wymagane do odczytania wzorów: α, β, γ - kąty. Leżą one po bokach odpowiednio a, b, c.

1. Zgodnie z nim połowa iloczynu dwóch boków i sinusa kąta między nimi jest równa powierzchni trójkąta. Oznacza to: S = ½ a * b * sin γ. Podobnie, formuły powinny być napisane dla dwóch pozostałych przypadków.

2. Obszar trójkąta można obliczyć z jednej strony i z trzech znanych kątów. S = (a ² * sin β * sin γ) / (2 sin α).

3. Istnieje również formuła z jedną dobrze znaną stroną i dwoma rogami sąsiadującymi z nią. Wygląda to tak: S = c ² / (2 (ctg α + ctg β)).

Dwie ostatnie formuły nie są najłatwiejsze. Pamiętaj o nich dość trudne.

Ogólne wzory sytuacji, gdy znane są promienie wyznakowanych lub opisywanych okręgów.

Dodatkowe oznaczenia: r, R - promienie. Pierwszy jest używany dla promienia wpisanego koła. Drugi dotyczy opisanego.

1. Pierwsza formuła, według której obliczany jest obszar trójkąta, jest połączona z pół-obwodem. S = p * r. W inny sposób można go zapisać w następujący sposób: S = ½ r * (a + b + c).

2. W drugim przypadku należy pomnożyć wszystkie boki trójkąta i podzielić je przez czterokrotny promień circumcircle. W dosłownym znaczeniu wygląda to następująco: S = (a * c * s) / (4R).

3. Trzecia sytuacja pozwala na obycie bez znajomości stron, ale wartości wszystkich trzech kątów będą wymagane. S = 2 R2 ² sin α * sin β * sin γ.

Przypadek specjalny: trójkąt prostokątny

Jest to najprostsza sytuacja, ponieważ wymaga znajomości tylko długości obu nóg. Są one oznaczone literami łacińskimi a i c. Obszar trójkąta prostokątnego jest równy połowie wypełnionego prostokąta.

Matematycznie wygląda to tak: S = ½ a * c. Jest zapamiętany najłatwiej. Ponieważ wygląda jak formuła dla obszaru prostokąta, pojawia się tylko inny ułamek, co oznacza połowę.

Przypadek szczególny: trójkąt równoramienny

Ponieważ ma dwie równe strony, niektóre formuły dla jego obszaru wyglądają na nieco uproszczone. Na przykład wzór Herona, który oblicza obszar trójkąta równoramiennego, przyjmuje następującą postać:

S = ½ w √ (((a + ½ cala) * (a - ½ cala)).

Jeśli ją skonwertujesz, stanie się krótszy. W tym przypadku wzór Herona dla trójkąta równoramiennego jest zapisany jako:

S = w √ (4 * a ² - b ² ).

Trochę prostsze niż w przypadku dowolnego trójkąta, formuła obszaru wygląda tak, jeśli znane są boki i kąt między nimi. S = ½ a ² * sin β.

Przypadek szczególny: trójkąt równoboczny

Zwykle w problemach związanych z nim jest znana strona lub można się jakoś dowiedzieć. Następnie wzór, który jest obszarem takiego trójkąta, wygląda następująco:

S = (a ² √3) / 4.

Zadania dotyczące znalezienia obszaru, jeśli trójkąt jest przedstawiony na papierze w kratkę

Najprostsza jest sytuacja, kiedy prawy trójkąt jest narysowany tak, że jego nogi pokrywają się z liniami papieru. Następnie wystarczy policzyć liczbę komórek pasujących do nóg. Następnie pomnóż je i podziel przez dwa.

Kiedy trójkąt jest ostry lub tępy, musi zostać narysowany do prostokąta. Następnie w wynikowym kształcie będą 3 trójkąty. Jednym z nich jest problem. A pozostałe dwie - pomocnicze i prostokątne. Określ obszar ostatnich dwóch potrzeb dla powyższej metody. Następnie policz obszar prostokąta i odejmij od niego te obliczone dla pomocniczego. Określa się obszar trójkąta.

Znacznie trudniejsza jest sytuacja, w której żadna strona trójkąta nie pokrywa się z liniami papieru. Następnie należy go wpisać w prostokąt, tak aby wierzchołki pierwotnej figury leżały na bokach. W takim przypadku będą trzy pomocnicze trójkąty prostokątne.

Przykład problemu na wzorze Gerony

Stan Niektóre trójkąty mają boki. Są równe 3, 5 i 6 cm, musisz znać jego obszar.

Decyzja. Przede wszystkim należy policzyć pół-obwód trójkąta. Zrób sumę wszystkich trzech, podanych w numerze, liczb i podziel je na dwie. Proste obliczenia prowadzą do liczby 7. Jest to wartość pół metra.

Możesz teraz obliczyć obszar trójkąta, korzystając z powyższej formuły. Pod pierwiastek kwadratowy Okazuje się, że produkt składa się z czterech cyfr: 7, 4, 2 i 1. Oznacza to, że obszar wynosi √ (4 * 14) = 2 √ (14).

Jeśli większa precyzja nie jest wymagana, możesz wyodrębnić pierwiastek kwadratowy z 14. Jest równy 3,74. Wtedy powierzchnia będzie równa 7,48.

Odpowiedź jest. S = 2 x 14 cm2 lub 7,48 cm2.

Przykład problemu z trójkątem prostokątnym

Stan Jedna noga trójkąta prostokątnego jest o 31 cm dłuższa od drugiej, musisz znać jej długość, jeśli powierzchnia trójkąta wynosi 180 cm2.
Decyzja. Będziemy musieli rozwiązać układ dwóch równań. Pierwsza związana jest z kwadratem. Drugi to postawa nóg, która jest podana w problemie.
180 = ½ a * c;

a = przy + 31.
Po pierwsze, wartość "a" musi zostać podstawiona do pierwszego równania. Okazuje się, że: 180 = ½ (w + 31) * c. Ma tylko jedną nieznaną ilość, więc łatwo ją rozwiązać. Po otwarciu nawiasów otrzymuje się równanie kwadratowe: w ² + 31 w - 360 = 0. Daje dwie wartości "in": 9 i - 40. Druga liczba nie pasuje do odpowiedzi, ponieważ długość boku trójkąta nie może być wartością ujemną.

Pozostaje obliczyć drugi etap: dodać 31 do uzyskanej liczby, a okazuje się, że 40. Są to ilości poszukiwane w danym problemie.

Odpowiedź jest. Nogi trójkąta mają 9 i 40 cm.

Zadaniem znalezienia boku przez obszar, bok i kąt trójkąta

Stan Powierzchnia trójkąta wynosi 60 cm ² . Konieczne jest obliczenie jednego z boków, jeżeli druga strona ma 15 cm, a kąt między nimi wynosi 30º.

Decyzja. W oparciu o przyjętą notację pożądaną stroną "a", znaną "w", jest dany kąt "γ". Następnie wzór obszaru można przepisać jako:

60 = ½ a * 15 * sin 30º. Tutaj sinus 30 stopni wynosi 0,5.

Po transformacji "a" jest równe 60 / (0,5 * 0,5 * 15). To jest 16.

Odpowiedź jest. Wymagana strona to 16 cm.

Problem kwadratu wpisanego w trójkąt prostokątny

Stan Górna część kwadratu o boku 24 cm pokrywa się z prawym kątem trójkąta. Dwie pozostałe leżą na nogach. Trzeci należy do przeciwprostokątnej. Długość jednej z nóg to 42 cm Jaki jest obszar trójkąta prostokątnego?

Decyzja. Rozważ dwa prawe trójkąty. Pierwszy jest podany w zadaniu. Druga opiera się na znanej odnodze oryginalnego trójkąta. Są podobne, ponieważ mają wspólny kąt i są tworzone przez równoległe linie.

Wtedy stosunki ich nóg są równe. Nogi mniejszego trójkąta mają 24 cm (bok kwadratu) i 18 cm (dana noga 42 cm odejmuje bok kwadratu 24 cm). Odpowiednie odnogi dużego trójkąta to 42 cm i x cm, to jest to "x", które jest potrzebne do obliczenia obszaru trójkąta.

18/42 = 24 / x, tj. X = 24 * 42/18 = 56 (cm).

Następnie powierzchnia jest równa iloczynowi 56 i 42, podzielona na dwie części, czyli 1176 cm ² .

Odpowiedź jest. Wymagany obszar to 1176 cm ² .