Jak obliczyć objętość różnych ciał geometrycznych?

W trakcie stereometrii jednym z głównych pytań jest sposób obliczania objętości określonego ciała geometrycznego. Wszystko zaczyna się od prostopadłościanu i kończy się kulką.

Również w życiu często mają do czynienia z podobnymi problemami. Na przykład, aby obliczyć objętość wody, która jest umieszczona w wiadrze lub lufie.

Właściwości zgodne z wielkością każdego ciała

1. Ta wartość jest zawsze liczbą dodatnią.
2. Jeśli ciało można podzielić na części, tak że nie ma skrzyżowań, całkowita objętość jest równa sumie objętości części.
3. Równe ciała mają taką samą objętość.
4. Jeśli mniejszy korpus mieści się całkowicie w większym, to objętość pierwszego jest mniejsza niż druga.

Ogólna notacja dla wszystkich ciał

W każdym z nich znajdują się krawędzie i podstawy, w których są zbudowane wysokości. Dlatego takie elementy dla nich są jednakowo oznakowane. Tak są napisane w formułach. Jak obliczyć objętość każdego z ciał - nauczymy się dalej i zastosujemy nowe umiejętności w praktyce.

Niektóre formuły mają inne wartości. Ich oznaczenie zostanie omówione, gdy zajdzie taka potrzeba.

Pryzmat, równoległościan (prosty i ukośny) i sześcian

Obiekty te są połączone, ponieważ wyglądają bardzo podobnie, a formuły obliczania objętości są identyczne:

V = S ₀ * h.

Tylko S ₀ będzie się różnić. W przypadku równoległościanu jest on obliczany jak dla prostokąta lub kwadratu. W pryzmacie podstawą może być trójkąt, równoległobok, dowolny czworokąt lub inny wielokąt.

W przypadku kostki formuła jest znacznie uproszczona, ponieważ wszystkie jej wymiary są równe:

V = a ³ .

Piramida, czworościan, ścięta piramida

W przypadku pierwszego z tych ciał istnieje taka formuła obliczania objętości:

V = 1/3 * S ₀ * n.

Ten czworościan jest szczególnym przypadkiem trójkątnej piramidy. Wszystkie krawędzie w nim są równe. Dlatego ponownie otrzymujemy uproszczoną formułę:

V = (a ³ * √2) / 12 lub V = _^1/3 S ₀ h

Skrócona piramida staje się, gdy jej górna część jest odcięta. Dlatego jego objętość jest równa różnicy między dwiema piramidami: tą, która byłaby nienaruszona, i odległym wierzchołkiem. Jeśli można znaleźć obie podstawy takiej piramidy (S ₁ jest większa, a S ₂ jest mniejsza), to wygodnie jest użyć tego wzoru do obliczenia objętości:

V = 1/3 * h * (S ₁ + √ (S ₁ S ₂ ) + S ₂ ).

Cylinder, stożek i ścięty stożek

Jeśli chcesz obliczyć objętość cylindra Możesz użyć formuły określonej dla pryzmatu. Czasami wygodnie jest napisać to w tej formie:

V = π * r ² * godz.

Sytuacja ze stożkiem jest nieco bardziej skomplikowana. Dla niego istnieje formuła:

V = 1/3 π * r ² * godz. Jest bardzo podobny do wskazanego dla cylindra, tylko wartość jest zmniejszana trzykrotnie.

Podobnie jak w przypadku ściętej piramidy, sytuacja nie jest łatwa ze stożkiem, który ma dwie podstawy. Wzór obliczania objętości ściętego stożka jest następujący:

V = 1/3 π * h * (r ₁ ² + r ₁ r ₂ + r ₂ ² ). Tutaj r ₁ jest promieniem dolnej podstawy, r ₂ jest górną (mniejszą).

Piłka, segmenty piłek i sektor

Są to najtrudniejsze do zapamiętania formuły. Dla objętość kulki ona wygląda tak:

V = 4/3 π * r ³ .

W przypadku problemów często pojawia się pytanie, jak obliczyć objętość sferycznego segmentu - części kuli, która jest cięta tak, jakby była równoległa do średnicy. W takim przypadku na ratunek przyjdzie następująca formuła:

V = π h ² * (r - h / 3). W tym przypadku h jest brany za wysokość segmentu, czyli część, która idzie wzdłuż promienia kuli.

Sektor jest podzielony na dwie części: stożek i segment piłki. Dlatego jego objętość definiowana jest jako suma tych ciał. Formuła po transformacji wygląda następująco:

V = 2/3 πr ² * godz. Tutaj h jest również wysokością segmentu.

Przykłady zadań

Objętość cylindra, kulki i stożka

Warunek: średnica cylindra (1 korpus) jest równa jego wysokości, średnicy kulki (2 korpusy) i wysokości stożka (3 korpusy); sprawdzić proporcjonalność objętości V ₁ : V ₂ : V ₃ = 3: 2: 1

Decyzja. Najpierw musisz napisać trzy formuły dla woluminów. Następnie należy wziąć pod uwagę, że promień ma połowę średnicy. Oznacza to, że wysokość będzie równa dwóm promieniom: h = 2r. Po prostym zastąpieniu okazało się, że formuły dla woluminów będą wyglądać tak:

V ₁ = 2 π r ³ ; V ₃ = 2/3 π r ³ . Wzór na objętość kulki nie zmienia się, ponieważ wysokość nie pojawia się w nim.

Teraz pozostaje napisać relacje głośności i dokonać redukcji 2π i r ³ . Okazuje się, że V ₁ : V ₂ : V ₃ = 1: 2/3: 1/3. Te liczby łatwo prowadzą do rekordu 3: 2: 1.

Odpowiedź jest. V ₁ : V ₂ : V ₃ = 3: 2: 1.

O objętości piłki

Warunek: istnieją dwa arbuzy o promieniu 15 i 20 cm; Jaki jest najkorzystniejszy sposób ich spożywania: pierwsze cztery z nich lub drugie z drugiego?

Decyzja. Aby odpowiedzieć na to pytanie, musisz znaleźć stosunek objętości sztuk, które otrzymasz z każdego arbuza. Biorąc pod uwagę, że są to kule, należy zapisać dwie formuły dla objętości. Następnie weź pod uwagę, że od pierwszego otrzymamy tylko czwartą część, a od drugiej - ósmą.

Pozostaje zarejestrować stosunek objętości części. Będzie wyglądać tak:

(V ₁ : 4) / (V ₂ : 8) = (1/3 π r ₁ ³ ) / (1/6 π r ₂ ³ ). Po konwersji pozostaje tylko ułamek: (2 r ₁ ³ ) / r ₂ ³ . Po zastąpieniu wartości i obliczeń otrzymuje się frakcję 6750/8000. Z tego wynika, że ​​część z pierwszego arbuza będzie mniejsza niż z drugiego.

Odpowiedź jest. Bardziej opłaca się jeść ósmą część arbuza o promieniu 20 cm.

O objętości piramidy i sześcianu

Warunek: znajduje się piramida z gliny o prostokątnej podstawie 8x9 cm i wysokości 9 cm; zrobili kostkę z tego samego kawałka gliny; Jaka jest jego krawędź?

Decyzja. Jeśli oznaczymy boki prostokąta z literami i, wówczas powierzchnia podstawy piramidy jest obliczana jako ich produkt. Następnie wzór na jego objętość:

V ₁ = 1/3 * słońce * godz.

Wzór na objętość sześcianu został zapisany w powyższym artykule. Te dwie wartości są równe: V ₁ = V ₂ . Pozostaje zrównać prawe strony wzorów i dokonać niezbędnych obliczeń. Okazuje się, że krawędź sześcianu będzie równa 6 cm.

Odpowiedź jest. a = 6 cm

Informacje o woluminie równoległym

Warunek: wymagane jest wykonanie skrzynki o pojemności 0,96 m ³ , jej szerokość i długość są znane - 1,2 i 0,8 metra; Jaka powinna być jego wysokość?

Decyzja. Ponieważ podstawa równoległościanu jest prostokątem, jego obszar definiowany jest jako iloczyn długości (a) i szerokości (c). Dlatego formuła dla woluminu wygląda następująco:

V = a * c * n.

Z tego łatwo jest określić wysokość, dzieląc objętość przez obszar. Okazuje się, że wysokość powinna wynosić 1 m.

Odpowiedź jest. Wysokość pudełka to jeden metr.