Jak obliczyć objętość kulki i inne niuanse w obliczeniach

27.06.2019

Zanim zaczniesz studiować pojęcie piłki, jaka jest objętość kulki, weź pod uwagę wzory do obliczania jej parametrów, powinieneś przywołać koncepcję koła badanego wcześniej w trakcie geometrii. W końcu większość działań w trójwymiarowa przestrzeń są podobne lub pochodzą z geometrii dwuwymiarowej, skorygowanej o wygląd trzeciej współrzędnej i trzeciego stopnia.

Co to jest krąg?

rysunek koła

Koło to figura na płaszczyźnie kartezjańskiej (pokazana na rysunku 1); Najczęściej definicja brzmi "locus wszystkich punktów na płaszczyźnie, odległość od której do danego punktu (środka) nie przekracza pewnej nieujemnej liczby, zwanej promieniem."

Jak widzimy na rysunku, punkt O jest środkiem figury, a zbiór absolutnie wszystkich punktów, które wypełniają okrąg, na przykład A, B, C, K, E, nie jest dłuższy niż określony promień (nie wykraczaj poza okrąg pokazany na rysunku 2).

okrąg

Jeśli promień jest równy zero, to okrąg zmienia się w punkt.

Rozwiązywanie problemów

Uczniowie często mylą te pojęcia. Łatwe do zapamiętania przez narysowanie analogii. Obręcz, którą dzieci wykręcają na zajęciach wychowania fizycznego, to krąg. Rozumiejąc to lub pamiętając, że pierwsze litery obu słów to "O", dzieci będą mnemonicznie rozumiały różnicę.

Wprowadzenie koncepcji "piłki"

Objętość kulki

Kula jest ciałem (ryc. 3), ograniczonym kulistą powierzchnią. Jaka "sferyczna powierzchnia" stanie się jasna od jego definicji: jest to geometryczne położenie wszystkich punktów na powierzchni, odległość od której do danego punktu (środka) nie przekracza pewnej nieujemnej liczby, zwanej promieniem. Jak widzimy, pojęcia koła i powierzchni sferycznej są podobne, różnią się tylko powierzchnie, w których się znajdują. Jeśli przedstawimy kulę w dwuwymiarowej przestrzeni, otrzymamy okrąg, którego krawędzią jest okrąg (granica kuli jest sferyczną powierzchnią). Na rysunku widzimy sferyczną powierzchnię z promieniami OA = OB.

objętość piłki jest

Piłka zamknięta i otwarta

W przestrzeniach wektorowych i metrycznych rozważane są również dwie koncepcje związane z powierzchnią sferyczną. Jeśli piłka zawiera samą kulę, nazywa się ją zamkniętą, a jeśli nie, to jest otwarta. Są to bardziej "zaawansowane" koncepcje, są badane w instytucjach wraz z wprowadzeniem do analizy. Do prostego, nawet domowego użytku, wystarczą te formuły, które są badane w trakcie stereometrii klas 10-11. Takie pojęcia są dostępne dla niemal każdej przeciętnie wykształconej osoby, o czym będzie mowa w dalszej części.

Koncepcje, które musisz znać dla następujących obliczeń

- Promień i średnica.

- Promień kuli i jej średnicę określa się w taki sam sposób, jak okrąg.

- Promień - odcinek łączący dowolny punkt na granicy piłki i punkt, który jest środkiem piłki.

- Średnica - segment łączący dwa punkty na granicy piłki i przechodzący przez jego środek. Figura 5a wyraźnie pokazuje, które segmenty są promieniami kuli, a Figura 5b pokazuje średnice kuli (segmenty przechodzące przez punkt O).

kula, jej promień i przekątna

Sekcje w kuli (piłka)

Każda sekcja kuli jest okręgiem. Jeśli przechodzi przez środek kuli, nazywa się ją dużym kołem (kółkiem o średnicy AB), pozostałe sekcje to małe kółka (okrąg o średnicy DC).

duże i małe koła piłki

Obszar tych kół jest obliczany według następujących wzorów:

formułaformuła

Tutaj S jest oznaczeniem obszaru, R jest promieniem, D jest średnicą. Obecna jest również stała 3,14. Nie należy jednak mylić tego z obliczaniem obszaru dużego okręgu za pomocą promienia lub średnicy kuli (kuli), a do określenia obszaru wymagane są wymiary promienia małego okręgu.

Istnieje niezliczona ilość takich sekcji, które przechodzą przez dwa punkty o tej samej średnicy leżące na granicy kuli. Jako przykład - nasza planeta: dwa punkty na biegunach północnym i południowym, które są końcami osi Ziemi, oraz w sensie geometrycznym - końce średnicy i południki, które przechodzą przez te dwa punkty (rysunek 7). Oznacza to, że liczba dużych kół w sferze ma nieskończoność.

duże kółka piłki

Części piłek

segment piłki

Jeśli oddzielisz kulę od kuli za pomocą pewnej płaszczyzny "kawałka" (rysunek 8), wówczas będzie to nazywane sferycznym lub sferycznym segmentem. Będzie miał wysokość - prostopadle od środka płaszczyzny cięcia do kulistej powierzchni O 1 K. Punkt K na powierzchni sferycznej, do której dochodzi wysokość, nazywany jest wierzchołkiem sferycznego segmentu. I małe kółko o promieniu O 1 T (w tym przypadku, zgodnie z rysunkiem, płaszczyzna nie przechodziła przez środek kuli, ale jeśli przekrój przechodzi przez środek, to okrąg przekroju będzie duży) utworzony, gdy odcięty zostanie odcinek kulki, będzie nazywany podstawą naszego kawałka piłka - segment sferyczny.

Jeśli połączysz każdy punkt podstawy sferycznego segmentu ze środkiem kuli, otrzymamy kształt zwany "sektorem kulowym".

Jeśli dwie płaszczyzny, które są równoległe do siebie, przechodzą przez kulę, wówczas ta część sfery, która jest zamknięta między nimi, nazywa się warstwą sferyczną (rysunek 9, który przedstawia kulę z dwoma płaszczyznami i sferyczną warstwą oddzielnie).

warstwa kulkowa

Powierzchnia (podświetlona część na rysunku 9 po prawej) tej części sfery nazywana jest pasem (ponownie, dla lepszego zrozumienia, można nakreślić analogię z globusem, a mianowicie ze strefami klimatycznymi - arktycznymi, tropikalnymi, umiarkowanymi itp.), A okręgi sekcji będą podstawami warstwa kulkowa. Wysokość warstwy jest częścią średnicy narysowanej prostopadle do płaszczyzn cięcia z centrów baz. Istnieje również pojęcie sfery. Powstaje w przypadku, gdy płaszczyzny, które są równoległe do siebie, nie przecinają się z kulą, ale dotykają jej w jednym punkcie.

Wzór do obliczania objętości kuli i jej powierzchni

Kulę formuje się obracając wokół ustalonej średnicy półkola lub koła. Aby obliczyć różne parametry tego obiektu nie będą potrzebne zbyt wiele danych.

formuła objętościowa kuli

Objętość kuli, wzór do obliczenia wskazany powyżej, oblicza się za pomocą integracji. Rozumiemy punkty.

Uważamy, że koło w płaszczyźnie dwuwymiarowej, ponieważ, jak wspomniano powyżej, to koło stanowi podstawę konstrukcji piłki. Używamy tylko jego czwartej części (rysunek 10).
ćwierć kręgu

Weź okrąg o promieniu jednostkowym i centrum w punkcie początkowym. Równanie takiego koła jest następujące: X 2 + Y 2 = R 2 . Wyrażamy stąd Y: Y 2 = R 2 - X 2 .
obliczanie objętości kulki sub

Pamiętaj, że wynikowa funkcja jest nieujemna, ciągła i malejąca w segmencie X (0; R), ponieważ wartość X w przypadku, gdy rozważamy ćwierć koła, leży od zera do wartości promienia, to znaczy do jednego.

Następną rzeczą, którą robimy, jest obrócenie ćwiartki koła wokół osi X. W rezultacie otrzymujemy półkulę. Aby określić jego wielkość, odwołujemy się do metod integracji.


formuła objętości hemisfery

Ponieważ ta objętość jest tylko półkulą, podwoimy wynik, skąd otrzymujemy, że objętość kuli jest równa:


formuła objętościowa kuli

Małe niuanse

Jeśli konieczne jest obliczenie objętości kulki przez jej średnicę, należy pamiętać, że promień jest o połowę mniejszy i zastąpić tę wartość w powyższym wzorze.

Również wzór na objętość kuli można uzyskać poprzez powierzchnię jego graniczącej powierzchni - kulę. Przypomnijmy, że obszar kuli oblicza się za pomocą wzoru S = 4πr 2 , integrując to, dochodzimy również do powyższej formuły objętości piłki. Z tych samych formuł można wyrazić promień, jeśli warunek problemu zawiera wartość objętości.