Jak znaleźć przeciwprostokątną: 4 sposoby na znalezienie odpowiedzi

Po przestudiowaniu tego tematu prawe trójkąty uczniowie często odrzucają wszystkie informacje na ich temat. W tym, jak znaleźć przeciwprostokątną, nie mówiąc o tym, co to jest.

I na próżno. Ponieważ później przekątna prostokąta okazuje się być właśnie tą przeciwprostokątną i trzeba ją znaleźć. Or średnica koła pokrywa się z największą stroną trójkąta, którego jeden z narożników jest prosty. I znalezienie go bez tej wiedzy jest niemożliwe.

Istnieje kilka opcji na znalezienie przeciwprostokątnej trójkąta. Wybór metody zależy od początkowego zestawu danych w zestawieniu wartości problemu.

Metoda numer 1: podane są oba

Jest to najbardziej zapadająca w pamięć metoda, ponieważ wykorzystuje twierdzenie Pitagorasa. Tylko czasami uczniowie zapominają, że ta formuła jest kwadratem przeciwprostokątnej. Tak więc, aby znaleźć samą stronę, będziesz musiał wyodrębnić pierwiastek kwadratowy. Dlatego formuła przeciwprostokątnej, która zwykle jest oznaczona literą "c", będzie wyglądać następująco:

c = √ (a ² + w ² ) , gdzie ^dwie litery trójkąta prostokątnego są pisane literami "a" i "b".

Metoda numer 2: znana z nogi i kąta, który sąsiaduje z nią

Aby dowiedzieć się, jak znaleźć przeciwprostokątną, musisz przypomnieć funkcje trygonometryczne. Mianowicie cosinus. Dla wygody przyjmujemy, że noga "a" i kąt α sąsiadujący z nią są podane.

Teraz musimy pamiętać, że cosinus kąta trójkąta prostokątnego jest równy stosunkowi dwóch boków. Licznik będzie wartością nogi, a mianownik - przeciwprostokątną. Z tego wynika, że ​​ten ostatni można policzyć za pomocą następującego wzoru:

c = a / cos α .

Metoda numer 3: biorąc pod uwagę nogę i kąt, który leży naprzeciwko niego

Aby nie mylić się we wzorach, wprowadzamy notację dla tego kąta - β, i opuszczamy stronę jak poprzednio "a". W takim przypadku wymagana jest inna funkcja trygonometryczna, sinus.

Podobnie jak w poprzednim przykładzie, sinus jest równy stosunkowi nogi do przeciwprostokątnej. Wzór dla tej metody jest następujący:

c = a / sin β .

Aby nie zaplątać się w funkcje trygonometryczne, możesz zapamiętać prostą zasadę mnemoniczną: jeśli problem dotyczy przeciwnego kąta, musisz użyć s i nus, jeśli chodzi o pr i kłamstwo, to o sinus. Należy zwrócić uwagę na pierwsze samogłoski w słowach kluczowych. Tworzą pary o-i lub -o .

Metoda numer 4: wzdłuż obwodu circumcircle

Teraz, aby dowiedzieć się, jak znaleźć przeciwprostokątną, musimy przypomnieć sobie właściwość koła, która jest opisana wokół trójkąta prostokątnego. Brzmi to w następujący sposób. Środek okręgu pokrywa się ze środkiem przeciwprostokątnej. Innymi słowy, największą stroną trójkąta prostokątnego jest przekątna koła. To znaczy, podwójny promień. Formuła tego zadania będzie wyglądać następująco:

c = 2 * r , gdzie r jest znanym promieniem.

Są to wszystkie możliwe sposoby na znalezienie przeciwprostokątnej trójkąta prostokątnego. Do użycia w każdym konkretnym zadaniu potrzebujesz metody, która będzie bardziej odpowiednia dla zestawu danych.

Przykładowy numer problemu 1

Warunek: w prawym trójkącie, mediany są przyciągane do obu nóg. Długość tego trzymanego na większej stronie wynosi √52. Druga mediana ma √73 długości. Wymagane do obliczenia przeciwprostokątnej.

Decyzja.

Ponieważ mediany są rysowane w trójkącie, dzielą nogi na dwa równe segmenty. Dla wygody, uzasadnienia i znalezienia sposobu na znalezienie przeciwprostokątnej, musisz wprowadzić kilka symboli. Niech obie połówki większego katetusa zostaną oznaczone literą "x", a drugą literą "y".

Teraz musimy wziąć pod uwagę dwa prawe trójkąty, których przeciwprosty są znanymi medianami. Dla nich musisz napisać dwa razy Wzór twierdzenia Pitagorasa :

(2y) ² + x ² = (√52) ²

i

(y) ² + (2x) ² = (√73) ² .

Te dwa równania tworzą układ o dwóch niewiadomych. Po ich rozwiązaniu łatwo będzie znaleźć nogi oryginalnego trójkąta i, zgodnie z nimi, jego przeciwprostokątną.

Najpierw musisz wszystko zbudować do drugiego stopnia. Okazuje się:

4y ² + x ² = 52

i

przy ² + 4x ² = 73.

Z drugiego równania widać, że ² = 73 - 4x ² . To wyrażenie należy zastąpić pierwszym i obliczyć "x":

4 (73 - 4x ² ) + x ² = 52.

Po konwersji:

292 - 16 x ² + x ² = 52 lub 15 x ² = 240.

Od ostatniego wyrażenia x = √16 = 4.

Teraz możesz obliczyć "y":

y ² = 73 - 4 (4) ² = 73 - 64 = 9.

y = 3.

Zgodnie z warunkiem, okazuje się, że nogi oryginalnego trójkąta to 6 i 8. Dlatego możesz użyć wzoru z pierwszej metody i znaleźć przeciwprostokątną:

√ (6 ² + 8 ² ) = √ (36 + 64) = √100 = 10.

Odpowiedź : przeciwprostokątna wynosi 10.

Przykład zadania nr 2

Warunek: oblicz przekątną narysowaną w prostokącie z mniejszą stroną równą 41. Jeśli wiadomo, że dzieli kąt przez te, które odnoszą się jako 2 do 1.

Decyzja.

W tym zadaniu przekątna prostokąta jest największą stroną w trójkącie o kącie 90º. Dlatego wszystko sprowadza się do znalezienia przeciwprostokątnej.

Problem dotyczy narożników. Oznacza to, że będziesz musiał użyć jednej z formuł, w których występują funkcje trygonometryczne. Najpierw musisz określić wartość jednego z ostrych zakrętów.

Niech mniejszy z kątów, o których mowa w warunku, będzie α. Wtedy kąt prosty podzielony przez przekątną będzie równy 3α. Matematyczny zapis dla tego jest:

90º = 3 α.

Z tego równania po prostu określ α. Będzie równa 30º. I znajdzie się naprzeciwko mniejszej strony prostokąta. Dlatego będziesz potrzebował wzoru opisanego w metodzie nr 3.

Przeciwprostokątna jest równa stosunkowi nogi do sinusa o przeciwnym kącie, to znaczy:

41 / sin 30º = 41 / (0,5) = 82.

Odpowiedź: przeciwprostokątna wynosi 82.