Twierdzenie Poincarego w prostych słowach

Jules Henri Poincaré (1854-1912) kierował Paryską Akademią Nauk i został wybrany do akademii naukowych w 30 krajach na świecie. Miał skalę Leonardo: jego zainteresowania obejmowały fizykę, mechanikę, astronomię, filozofię. Matematycy całego świata wciąż twierdzą, że tylko dwie osoby w historii naprawdę znały tę naukę: niemiecki David Gilbert (1862-1943) i Poincare.

W 1904 r. Naukowiec opublikował artykuł zawierający między innymi założenie, zwane twierdzeniem Poincarego. Poszukiwanie dowodów na prawdziwość tego stwierdzenia zajęło około stu lat.

Topologia założyciela

Matematyczny geniusz Poincare jest imponujący pod względem liczby sekcji naukowych, gdzie opracował teoretyczne podstawy różnych procesów i zjawisk. W czasach, gdy naukowcy dokonywali przełomów w nowych światach kosmosu iw głębi atomu, nie można było obyć się bez jednej podstawy ogólnej teorii wszechświata. Wcześniej nieznane gałęzie matematyki stały się taką podstawą.

Poincaré szukał nowego spojrzenia na mechanikę nieba, stworzył teorię jakościową równań różniczkowych, teorię funkcji automorficznych. Naukowiec stał się podstawą specjalna teoria względności Einstein. Twierdzenie Poincarego o powrocie mówiło między innymi, że możliwe jest zrozumienie właściwości obiektów lub zjawisk globalnych poprzez badanie cząstek i elementów składowych. To dało potężny impuls badaniom naukowym w dziedzinie fizyki, chemii, astronomii itp.

Geometria jest gałęzią matematyki, w której Poincaré stał się uznanym innowatorem i światowym liderem. Teoria Łobaczewskiego, otwierająca nowe wymiary i przestrzenie, wciąż wymagała jasnego i logicznego modelu, a Poincaré nadał idei wielkiego rosyjskiego naukowca nadającą charakter.

Rozwój geometrii nieeuklidesowej nastąpił wraz z pojawieniem się topologii - gałęzi matematyki, którą nazwano geometrią umieszczenia. Studiuje przestrzenne związki punktów, linii, płaszczyzn, ciał itp. bez względu na ich właściwości metryczne. Twierdzenie Poincarego, które stało się symbolem najtrudniejszych problemów w nauce, powstało właśnie w głębinach topologii.

Jeden z siedmiu celów milenijnych

Na samym początku XXI wieku jedna z dywizji amerykańskiego uniwersytetu w Cambridge - instytut matematyczny oparty na metodzie biznesmena Landona T. Claya - opublikowała listę problemów związanych z nagrodą Millennium (problemy milenijne). Zawierał siedem punktów z klasycznych problemów naukowych, dla rozwiązania każdego z nich ustanowiono nagrodę w wysokości miliona dolarów:

• Równość klas P i NP (pod względem zgodności algorytmów rozwiązywania problemu i metod sprawdzania ich poprawności).
• Hipoteza Hodge'a (dotycząca połączenia obiektów i ich podobieństwa, opracowana dla ich badań z "cegieł" o określonych właściwościach).
• Hipotezy Poincarego (każdy po prostu połączony zwarty trójwymiarowy kolektor bez granicy jest homeomorficzny do sfery trójwymiarowej).
• Hipoteza Riemanna (o regularności umieszczania liczb pierwszych).
• Teoria Yang - Mills (równania z pola cząstek elementarnych, opisujące różne typy oddziaływań).
• Egzystencja i płynność rozwiązań równań Naviera - Stokesa (opis turbulencji przepływu powietrza i cieczy).
• Hipoteza Birch'a - Swinnertona-Dyera (w równaniach opisujących krzywe eliptyczne).

Każdy problem miał bardzo długą historię, poszukiwanie rozwiązania doprowadziło do pojawienia się zupełnie nowych dziedzin naukowych, ale nie znaleziono jedynych poprawnych odpowiedzi na zadane pytania. Zrozumienie ludzi mówiło, że pieniądze Fundacji Clay były bezpieczne, ale było to tylko do 2002 roku - ten, który udowodnił, że pojawiło się twierdzenie Poincaré. To prawda, że ​​nie wziął pieniędzy.

Klasyczne sformułowania

Hipoteza, dla której znaleziono potwierdzenie, staje się twierdzeniem, które ma poprawny dowód. Tak właśnie stało się z sugestią Poincarego dotyczącą właściwości trójwymiarowych sfer. W bardziej ogólnej formie, ten postulat mówił o homeomorfizmie każdej różnorodności wymiaru n oraz sfery wymiaru n jako warunek niezbędny do ich homotopijnej równoważności. Znane teraz twierdzenie Poincaré odnosi się do wariantu, gdy n = 3. Właśnie w trójwymiarowej przestrzeni matematycy czekali na trudności, w innych przypadkach dowody znajdowano szybciej.

Aby choć trochę zrozumieć sens twierdzenia Poincarégo, nie można zrobić bez zapoznania się z podstawowymi pojęciami topologii.

Homeomorfizm

Mówiąc o homeomorfizmie, topologia definiuje go jako relację jeden-do-jednego między punktami jednej i drugiej figury, w pewnym sensie nierozróżnialności. Twierdzenie Poincarego jest trudne do przewidzenia dla nieprzygotowanych. W przypadku czajników można podać najpopularniejszy przykład figury homeomorficznej - kula i sześcian, pączek i okrąg są również homeomorficzne, ale nie okrąg i sześcian. Liczby są homeomorficzne, jeśli jedna postać może być uzyskana przez arbitralne odkształcenie od innej, a ta transformacja jest ograniczona przez niektóre właściwości powierzchni figury: nie może być rozdarta, przebita, przecięta.

Jeśli kostka jest napompowana, może łatwo stać się piłką, jeśli piłka zostanie zmiażdżona przez zbliżające się ruchy, możesz zdobyć sześcian. Obecność dziury w pączku i dziury utworzonej przez rączkę koła sprawia, że ​​są one homeomorficzne, ta sama dziura uniemożliwia przekształcenie koła w kulę lub sześcian.

Łączność

Dziura jest ważnym pojęciem, które definiuje właściwości obiektu, ale kategoria absolutnie nie jest matematyczna. Wprowadzono pojęcie łączności. Zawiera wiele postulatów topologicznych, w tym twierdzenie Poincarégo. W prostych słowach możesz powiedzieć: jeśli owiniesz powierzchnię kulki gumową pętelką, to się poślizgnie i poślizgnie. To się nie stanie, jeśli jest jakaś dziura, taka jak torus, przez który możesz przekazać tę taśmę. W ten sposób określa się główny znak podobieństwa lub różnicy obiektów.

Różnorodność

Jeśli obiekt lub przestrzeń jest podzielona na wiele części składowych - sąsiedztwo otaczające punkt - wówczas ich ogólność nazywana jest kolektorem. Tę koncepcję zawiera twierdzenie Poincaré. Zwartość oznacza skończoną liczbę elementów. Każda okolica jest posłuszna prawom tradycyjnej - euklidesowej - geometrii, ale razem tworzą coś bardziej złożonego.

Najbardziej adekwatną analogią tych kategorii jest powierzchnia ziemi. Obraz jego powierzchni jest mapą poszczególnych obszarów zebranych w atlasie. Na kuli ziemskiej obrazy te mają formę kuli, która w stosunku do przestrzeni Wszechświata zamienia się w punkt.

Trójwymiarowa kula

Z definicji sfera to zbiór punktów, które są jednakowo oddalone od centrum - punkt stały. Jednowymiarowa kula znajduje się w dwuwymiarowej przestrzeni w postaci koła na płaszczyźnie. Sfera dwuwymiarowa - powierzchnia kuli, jej "skorupa" - zbiór punktów w przestrzeni trójwymiarowej i, odpowiednio, trójwymiarowa kula - są istotą twierdzenia Poincarego - powierzchni czterowymiarowej kuli. Bardzo trudno jest sobie wyobrazić taki obiekt, ale, jak mówią, jesteśmy wewnątrz takiego geometrycznego ciała.

Matematycy podają również następujący opis trójwymiarowej sfery: przypuśćmy, że do naszej zwykłej przestrzeni, uznawanej za nieograniczoną i definiowanej przez trzy współrzędne (X, Y, Z), dodaje się punkt (w nieskończoności) w taki sposób, że zawsze można go wprowadzić, przesuwając kierunek w linii prostej, tj. każda linia w tej przestrzeni staje się okręgiem. Mówi się, że są ludzie, którzy potrafią to sobie wyobrazić i spokojnie orientować się w takim świecie.

Dla nich zwykła rzecz - trójwymiarowy torus. Taki obiekt można uzyskać przez podwójne powtórzenie dwóch w jednym punkcie, położonych naprzeciwko (na przykład prawej i lewej, górnej i dolnej) powierzchni sześcianu. Aby spróbować wyobrazić sobie trójwymiarowy torus z naszych zwykłych pozycji, należy przeprowadzić całkowicie nierealny eksperyment: trzeba wybrać kierunki, wzajemnie prostopadłe, - w górę, w lewo i do przodu - i zacząć poruszać się w dowolnym z nich w linii prostej. Po pewnym (skończonym) czasie z przeciwnego kierunku wracamy do punktu wyjścia.

Takie geometryczne ciało ma fundamentalne znaczenie, jeśli chcemy zrozumieć, czym jest twierdzenie Poincarégo. Dowód Perelmana ogranicza się do usprawiedliwienia istnienia w trójwymiarowej przestrzeni tylko jednego połączonego kompaktowego kolektora - 3-kulki, inne, jak 3-torus, nie są po prostu połączone.

Długa droga do prawdy

Minęło ponad pół wieku, zanim pojawiło się rozwiązanie twierdzenia Poincarego dla większych niż 3 wymiarów. Steven Smale (ur. 1930), John Robert Stelling (1935-2008), Eric Christopher Ziman (ur. 1925) znalazł rozwiązanie dla n równego 5, 6 i równym lub większym niż 7. Tylko w 1982 roku Michael Friedman (ur. 1951) ) otrzymał najwyższą nagrodę matematyczną - Fields Premium - za udowodnienie twierdzenia Poincarego dla bardziej złożonego przypadku: gdy n = 4. W 2006 roku ta nagroda - Fields Medal - została przyznana rosyjskiej matematyce z St. Petersburga. Gregory Yakovlevich Perelman udowodnił twierdzenie Poincarégo dla trójwymiarowej rozmaitości i trójwymiarowej sfery. Nie chciał odebrać nagrody.

Zwykły geniusz

Grigorij Yakovlevich urodził się 13 czerwca w Leningradzie, w inteligentnej rodzinie. Jego ojciec, inżynier elektryk, wyjechał do Izraela na stałe na początku lat 90., matka uczyła matematyki w szkole zawodowej. Oprócz miłości do dobrej muzyki, zaszczepiła w swoim synu pasję do rozwiązywania problemów i zagadek. W 9. klasie Grzegorz przeniósł się do Szkoły Fizyki i Matematyki nr 239, ale od piątej klasy uczęszczał do Centrum Matematyki w Pałacu Pionierów. Zwycięstwa w All-Union i International Olympiads pozwoliły Perelmanowi wejść na Uniwersytet Leningradzki bez egzaminów.

Wielu ekspertów, zwłaszcza rosyjskich, twierdzi, że Grigori Yakovlevich został przygotowany do bezprecedensowego startu przez wysoką klasę leningradzkiej szkoły geometrów, którą zdał na wydziale mechaniki Leningradzkiego Uniwersytetu Państwowego oraz w szkole podyplomowej w Instytucie Matematycznym. V.A. Steklov. Staje się Kandydat nauk zaczął w nim pracować. Trudny czas lat 90. zmusił młodego naukowca do pracy w Stanach Zjednoczonych. Ci, którzy go znali, zauważyli jego ascezę w życiu codziennym, poświęcenie do pracy, doskonałe przygotowanie i wysoką erudycję, która stała się gwarancją, że Perelman udowodnił twierdzenie Poincarego. Po powrocie do Sankt Petersburga w 1996 roku podjął ten problem, ale zaczął myśleć o tym w Stanach Zjednoczonych.

Właściwy kierunek

Grigorij Jakowlew zauważa, że ​​zawsze fascynowały go skomplikowane problemy, takie jak twierdzenie Poincarégo. Perelman zaczął szukać dowodów w kierunku zaczerpniętym z rozmowy z profesorem Columbia University, Richardem Hamiltonem (ur. W 1943 r.). Podczas pobytu w Stanach Zjednoczonych specjalnie podróżował z innego miasta na wykłady tego niezwykłego naukowca. Perelman zauważa doskonałą życzliwą postawę profesora wobec młodego matematyka z Rosji. W swojej rozmowie Hamilton wspomniał o przepływach Ricci - systemie równań różniczkowych - jako o sposobie rozwiązywania twierdzeń geometryzacji. Następnie Perelman próbował skontaktować się z Hamiltonem i omówić postęp prac nad zadaniem, ale nie otrzymał odpowiedzi. Przez długi czas po powrocie do ojczyzny Grigori Jakowlew spędził samotnie z najtrudniejszym zadaniem, jakim było twierdzenie Poincarégo. Dowód Perelmana jest wynikiem olbrzymiego wysiłku i samozaparcia.

Hamilton stanął w bezruchu, gdy zobaczył, że w wyniku przekształceń krzywych pod wpływem przepływu Ricci powstają pojedyncze (zmieniające się w nieskończoność) strefy, których nie zapewniało twierdzenie Poincarégo. W prostych słowach Perelmanowi udało się zneutralizować tworzenie takich stref, a różnorodność bezpiecznie przekształciła się w kulę.

Ricci płynie

Po prostu połączony trójwymiarowy kolektor jest wyposażony w geometrię, wprowadzane są elementy metryczne z odległością i kątami. Łatwiej jest to zrozumieć na jednowymiarowych rozmaitościach. Gładka, zamknięta krzywa na płaszczyźnie euklidesowej jest wyposażona w każdym punkcie stycznym wektorem długości jednostki. Podczas przechodzenia krzywej wektor obraca się z pewną prędkością kątową, która określa krzywiznę. Tam, gdzie linia jest bardziej zakrzywiona, krzywizna jest większa. Krzywizna jest dodatnia, jeśli wektor prędkości jest odwrócony w kierunku wnętrza płaszczyzny, którą dzieli nasza linia, i ujemny, jeśli jest obrócony na zewnątrz. W punktach przegięcia zakrzywienie wynosi 0.

Teraz każdy punkt krzywej ma przypisany wektor prostopadły do ​​wektora. prędkość kątowa i długość równa wartości krzywizny. Kierunek jest skierowany do wewnątrz z dodatnią krzywizną, a na zewnątrz ujemną. Każdy punkt wykonuje ruch w kierunku i z prędkością określoną przez odpowiedni wektor. Zamknięta krzywa narysowana gdziekolwiek w płaszczyźnie, z taką ewolucją zamienia się w okrąg. Dotyczy to wymiaru 3, co było wymagane do udowodnienia.

Nie ma proroka ...

Poszedł na swój Everest, który jest uznawany przez matematyków twierdzenie Poincarego. Dowód Perelman opublikował w Internecie w formie trzech małych artykułów. Natychmiast wywołali poruszenie, chociaż rosyjski matematyk nie podjął niezbędnej ścieżki - publikacja w specjalistycznym czasopiśmie w towarzystwie profesjonalnych recenzji. Grigorij Jakowlew wyjaśnił istotę swojego odkrycia na uniwersytetach amerykańskich przez miesiąc, ale liczba ludzi, którzy w pełni rozumieli jego myśl, rosła bardzo powoli.

Dopiero cztery lata później pojawiły się konkluzje największych autorytetów: dowody rosyjskiego matematyka są poprawne, pierwszy z problemów tysiąclecia został rozwiązany.

Era sieci społecznościowych

Musiał znosić podniecenie i chamstwa w sieciach społecznych, milczenie tych, których szanował, i okrzyki innych, którzy nauczyli go życia. Energetyczni Chińczycy najpierw oszacowali jego wkład w rozwiązanie problemu na 25%, licząc 80 dla siebie i innych! Wtedy wydaje się, że światowe uznanie nadejdzie, ale nie każdy może to znieść. Chcę wierzyć: przetrwał i w swoim życiu - harmonię pragnień i możliwości.