Teoria prawdopodobieństwa: formuły i przykłady rozwiązywania problemów

05.03.2020

"Wypadki nie są przypadkowe" ... Brzmi to tak, jakby powiedział filozof, ale w rzeczywistości badanie losowości jest częścią wielkiej nauki matematyki. W matematyce teoria prawdopodobieństwa zajmuje się przypadkowością. W artykule zostaną przedstawione formuły i przykłady zadań, a także podstawowe definicje tej nauki.

Co to jest teoria prawdopodobieństwa?

Teoria prawdopodobieństwa jest jedną z dyscyplin matematycznych, które badają losowe zdarzenia.

Aby uczynić to nieco jaśniejszym, dajmy mały przykład: jeśli rzucisz monetą, może spaść z "orłem" lub "ogonem". Podczas gdy moneta jest w powietrzu, oba te prawdopodobieństwa są możliwe. Oznacza to, że prawdopodobieństwo możliwych konsekwencji wynosi 1: 1. Jeśli z talii z 36 kartami do wyciągnięcia jednego, wtedy prawdopodobieństwo będzie oznaczane jako 1:36. Wydaje się, że nie ma nic do odkrycia i przewidywania, szczególnie przy pomocy formuł matematycznych. Jeśli jednak wielokrotnie powtarzasz określoną akcję, możesz zidentyfikować pewną regularność i na jej podstawie przewidzieć wynik zdarzeń w innych warunkach.

Podsumowując powyższe, teoria prawdopodobieństwa w sensie klasycznym bada możliwość wystąpienia jednego z możliwych zdarzeń w wartości liczbowej.

Teorie prawdopodobieństwa i przykłady

Ze stron historii

Teoria prawdopodobieństwa, formuły i przykłady pierwszych zadań pojawiły się w odległym średniowieczu, kiedy po raz pierwszy podjęto próby przewidywania wyników gier karcianych.

Początkowo teoria prawdopodobieństwa nie miała nic wspólnego z matematyką. Oparty był na faktach empirycznych lub właściwościach zdarzenia, które można odtworzyć w praktyce. Pierwsze prace na tym polu, podobnie jak w dyscyplinie matematycznej, pojawiły się w XVII wieku. Blaise Pascal i Pierre Fermat zostali przodkami. Przez długi czas studiowali hazard i widzieli pewne wzorce, które postanowili opowiedzieć społeczeństwu.

Christian Huygens wynalazł tę samą technikę, chociaż nie był zaznajomiony z wynikami Pascala i Fermata. Pojęcie "teorii prawdopodobieństwa", formuły i przykłady, które są uważane za pierwsze w historii tej dyscypliny, zostały przez niego wprowadzone.

Nie bez znaczenia są dzieła Jakuba Bernoulli, twierdzenia Laplace'a i Poissona. Uczyniły teorię prawdopodobieństwa bardziej matematyczną dyscypliną. Teoria prawdopodobieństwa, wzory i przykłady podstawowych zadań uzyskały swoją obecną formę dzięki aksjomatom Kołmogorowa. W wyniku wszystkich zmian, teoria prawdopodobieństwa stała się jedną z sekcji matematycznych.

Podstawowe pojęcia teorii prawdopodobieństwa. Wydarzenia

Główną ideą tej dyscypliny jest "wydarzenie". Zdarzenia są trzech typów:

  • Autentyczne. Te, które zdarzają się w każdym przypadku (moneta spadnie).
  • Niemożliwe. Zdarzenia, które nie zdarzają się w żadnym scenariuszu (moneta pozostanie zawieszona w powietrzu).
  • Losowo. Te, które się zdarzają lub nie. Mogą na nie wpływać różne czynniki, które są bardzo trudne do przewidzenia. Jeśli mówimy o monecie, to czynniki losowe, które mogą wpływać na wynik: cechy fizyczne monety, jej kształt, pozycja wyjściowa, siła rzutu itp.

teoria prawdopodobieństwa formuły poissona przykłady rozwiązywania problemów

Wszystkie zdarzenia w przykładach są oznaczone dużymi literami łacińskimi, z wyjątkiem P, któremu przypisano inną rolę. Na przykład:

  • A = "studenci przyszli na wykład."
  • Ā = "studenci nie uczestniczyli w wykładzie."

W zadaniach praktycznych zdarzenia są zazwyczaj zapisywane w słowach.

Jedną z najważniejszych cech wydarzeń jest ich równe szanse. Oznacza to, że jeśli rzucisz monetą, wszystkie odmiany oryginalnego spadku są możliwe, dopóki nie spadnie. Ale wydarzenia nie są jednakowo możliwe. Dzieje się tak, gdy ktoś konkretnie wpływa na wynik. Na przykład "oznaczone" karty do gry lub kości, w których środek ciężkości jest przesunięty.

Więcej wydarzeń jest kompatybilnych i niekompatybilnych. Zgodne zdarzenia nie wykluczają się nawzajem. Na przykład:

  • A = "Uczeń przyszedł na wykład."
  • B = "uczeń przyszedł na wykład".

Zdarzenia te są niezależne od siebie, a pojawienie się jednego z nich nie wpływa na wygląd drugiego. Niezgodne zdarzenia są określane przez fakt, że pojawienie się jednego wyklucza pojawienie się innego. Jeśli mówimy o tej samej monecie, utrata "ogona" uniemożliwia pojawienie się "orła" w tym samym eksperymencie.

Akcje dotyczące wydarzeń

Zdarzenia można mnożyć i dodawać odpowiednio w dyscyplinie, w której wprowadzane są logiczne zbiory "ORAZ" i "LUB".

Kwota jest określona przez fakt, że może zdarzyć się zdarzenie A, B lub dwa w tym samym czasie. W przypadku, gdy są one niezgodne, ta ostatnia opcja jest niemożliwa, albo A, albo B wypadnie.

Multiplikacja zdarzeń polega na jednoczesnym pojawieniu się A i B.

Teraz możesz podać kilka przykładów, aby lepiej zapamiętać podstawy, teorię prawdopodobieństwa i formuły. Przykłady rozwiązywania problemów poniżej.

Zadanie 1 : Firma bierze udział w konkursie na zamówienia na trzy rodzaje prac. Możliwe zdarzenia, które mogą wystąpić:

  • A = "firma otrzyma pierwszą umowę."
  • A 1 = "firma nie otrzyma pierwszej umowy."
  • B = "firma otrzyma drugą umowę."
  • W 1 = "firma nie otrzyma drugiej umowy"
  • C = "firma otrzyma trzecią umowę."
  • C 1 = "firma nie otrzyma trzeciej umowy."

Korzystając z działań na wydarzeniach, staramy się wyrazić następujące sytuacje:

  • K = "firma otrzyma wszystkie umowy."

W postaci matematycznej równanie będzie miało następującą formę: K = ABC.

  • M = "firma nie otrzyma jednej umowy."

M = A 1 B 1 C 1 .

Skomplikuj zadanie: H = "firma otrzyma jedną umowę." Ponieważ nie wiadomo, jaki rodzaj zamówienia otrzyma firma (pierwsza, druga lub trzecia), konieczne jest zarejestrowanie całego zakresu możliwych zdarzeń:

H = A 1 BC 1 υ AB 1 C 1 υ A 1 B 1 C.

I 1 BC 1 to seria wydarzeń, w których firma nie otrzymuje pierwszej i trzeciej umowy, ale otrzymuje drugą. Inne możliwe zdarzenia są odpowiednio rejestrowane. Symbol υ w dyscyplinie oznacza grupę "OR". Jeśli przetłumaczysz dany przykład na ludzki język, firma otrzyma albo trzecią umowę, albo drugą, albo pierwszą. Podobnie, możesz zapisać inne warunki w dyscyplinie "Teoria prawdopodobieństwa". Przedstawione powyżej formuły i przykłady rozwiązywania problemów pomogą zrobić to samemu.

Teoria prawdopodobieństwa formuły Bernoulliego dotycząca rozwiązywania problemów

Właściwie to prawdopodobieństwo

Być może w tej matematycznej dyscyplinie prawdopodobieństwo zdarzenia jest główną myślą. Istnieją 3 definicje prawdopodobieństwa:

  • klasyczny
  • statystyczne;
  • geometryczny.

Każdy ma swoje miejsce w badaniu prawdopodobieństw. Teoria prawdopodobieństwa, formuły i przykłady (klasa 9) używają głównie klasycznej definicji, która brzmi tak:

  • Prawdopodobieństwo sytuacji A jest równe stosunkowi liczby wyników, co faworyzuje jego wystąpienie, do liczby wszystkich możliwych wyników.

Formuła wygląda następująco: P (A) = m / n.

P oznacza prawdopodobieństwo zdarzenia A.

I - właściwie, wydarzenie. Jeśli istnieje przypadek przeciwny do A, można go zapisać jako A lub A 1 .

m to liczba możliwych korzystnych przypadków.

n - wszystkie zdarzenia, które mogą wystąpić.

Na przykład: A = "wyciągnij kartę z kombinezonu". Na standardowej talii znajduje się 36 kart, z których 9 ma kolor serca. Odpowiednio, formuła do rozwiązania zadania będzie:

P (A) = 9/36 = 0,25.

W rezultacie prawdopodobieństwo, że karta kombinezonu serca zostanie wyciągnięta z talii, wyniesie 0,25.

Do wyższej matematyki

Teraz niewiele już wiadomo, czym jest teoria prawdopodobieństwa, formuły i przykłady rozwiązywania zadań, które napotykają w szkolnym programie nauczania. Jednak teoria prawdopodobieństwa występuje w matematyce wyższej, która jest nauczana na uniwersytetach. Najczęściej operują one na geometrycznych i statystycznych definicjach teorii i złożonych formuł.

Teoria prawdopodobieństwa jest bardzo interesująca. Formuły i przykłady (wyższa matematyka) lepiej rozpocząć naukę od małej - z statystyczną (lub częstotliwościową) definicją prawdopodobieństwa.

Podejście statystyczne nie jest sprzeczne z klasycznym, ale nieznacznie je rozszerza. Jeśli w pierwszym przypadku konieczne było ustalenie prawdopodobieństwa wystąpienia zdarzenia, wówczas w metodzie tej należy wskazać, jak często będzie to miało miejsce. Tutaj wprowadzamy nową koncepcję "względnej częstotliwości", którą można oznaczać jako W n (A). Formuła nie różni się od klasycznej:

W n (A) = m / n.

Jeśli klasyczna formuła jest obliczana do prognozowania, wówczas formuła statystyczna jest zgodna z wynikami eksperymentu. Weźmy na przykład małe zadanie.

Dział kontroli procesu sprawdza produkty pod względem jakości. Spośród 100 znalezionych produktów 3 były poniżej standardu. Jak znaleźć prawdopodobieństwo częstotliwości produktu wysokiej jakości?

A = "pojawienie się wysokiej jakości produktu".

W n (A) = 97/100 = 0,97

Zatem częstotliwość towarów wysokiej jakości wynosi 0,97. Skąd wzięli 97? Spośród 100 produktów, które zostały sprawdzone, 3 były niskiej jakości. Od 100 odejmujemy 3, otrzymujemy 97, jest to ilość produktu o wysokiej jakości.

Teorie prawdopodobieństwa i przykłady rozwiązywania problemów

Trochę o kombinatoryce

Inna metoda teorii prawdopodobieństwa nazywa się kombinatoryką. Jego podstawową zasadą jest to, że jeśli pewien wybór A może być dokonany na różne sposoby, a wybór B na różne sposoby, wówczas wybór A i B może być dokonany przez pomnożenie.

Na przykład z miasta A do miasta B prowadzi 5 dróg. Z miasta B do miasta C prowadzi 4 drogi. Ile dróg można dostać się z miasta A do miasta C?

To proste: 5x4 = 20, czyli dwadzieścia różnych sposobów, które możesz uzyskać z punktu A do punktu C.

Skomplikujmy to zadanie. Na ile sposobów można grać w karty w pasjansie? W talii 36 kart jest to punkt wyjścia. Aby poznać liczbę metod, musisz "zabrać" jedną mapę z punktu początkowego i pomnożyć.

Oznacza to, że 36x35x34x33x32 ... x2x1 = wynik nie mieści się na ekranie kalkulatora, więc można go po prostu zaznaczyć 36! Znak "!" Obok cyfry oznacza, że ​​cały rząd liczb jest pomnożony razem.

W kombinatorykach istnieją pojęcia, takie jak permutacja, rozmieszczenie i kombinacja. Każdy z nich ma swoją własną formułę.

Zamówiony zestaw elementów zbioru nazywa się układem. Miejsca docelowe można powtórzyć, tzn. Jeden element może być użyty kilka razy. I bez powtórzeń, gdy elementy nie są powtarzane. n to wszystkie elementy, m to elementy uczestniczące w miejscu docelowym. Formuła umieszczenia bez powtórzeń będzie następująca:

A n m = n! / (Nm)!

Związki n elementów, które różnią się tylko kolejnością umieszczenia, nazywa się permutacją. W matematyce ma postać: P n = n!

Kombinacje n pierwiastków m nazywa się takimi związkami, w których ważne jest to, czym były i jaka jest ich całkowita liczba. Formuła będzie:

A n m = n! / M! (Nm)!

Formuła Bernoulliego

W teorii prawdopodobieństwa, a także w każdej dyscyplinie, znajdują się dzieła wybitnych badaczy w swojej dziedzinie, którzy wprowadzili ją na nowy poziom. Jedną z takich prac jest formuła Bernoulliego, która umożliwia określenie prawdopodobieństwa wystąpienia określonego zdarzenia w niezależnych warunkach. Sugeruje to, że pojawienie się A w eksperymencie nie zależy od pojawienia się lub braku pojawienia się tego samego zdarzenia w poprzednich lub kolejnych testach.

Równanie Bernoulliego:

= C n m ×p m ×q nm . P n (m) = Cn mx p mx q nm .

Prawdopodobieństwo (p) wystąpienia zdarzenia (A) pozostaje niezmienione dla każdej próby. Prawdopodobieństwo, że sytuacja wystąpi dokładnie m razy w liczbie eksperymentów, zostanie obliczone według formuły przedstawionej powyżej. Odpowiednio, pojawia się pytanie, jak znaleźć numer q.

q = 1-p

Jeśli zdarzenie A wystąpi p razy, odpowiednio, może nie wystąpić. Jednostka to liczba, która służy do określenia wszystkich wyników sytuacji w danej dyscyplinie. Dlatego q jest liczbą wskazującą na możliwość nie wystąpienia zdarzenia.

Teraz znasz formułę Bernoulliego (teoria prawdopodobieństwa). Przykłady rozwiązywania problemów (pierwszy poziom) będą rozpatrywane dalej.

Zadanie 2: Odwiedzający sklep dokonuje zakupu z prawdopodobieństwem 0,2. 6 odwiedzających weszło do sklepu niezależnie. Jakie jest prawdopodobieństwo, że użytkownik dokona zakupu?

Rozwiązanie: Ponieważ nie wiadomo, ilu odwiedzających musi dokonać zakupu, jednego lub wszystkich sześciu, konieczne jest obliczenie wszystkich możliwych prawdopodobieństw za pomocą wzoru Bernoulliego.

A = "użytkownik dokona zakupu."

W tym przypadku: p = 0,2 (jak wskazano w przypisaniu). Odpowiednio, q = 1-0,2 = 0,8.

n = 6 (ponieważ w sklepie jest 6 odwiedzających). Liczba m będzie się wahać od 0 (żaden klient nie dokona zakupu) do 6 (wszyscy odwiedzający sklep coś dostaną). W rezultacie otrzymujemy rozwiązanie:

= C 0 6 ×p 0 ×q 6 =q 6 = (0,8) 6 P 6 (0) = C 0 6 x p 0 x q 6 = q 6 = (0,8) 6 0,2621. = 0,2621.

Żaden z kupujących nie dokona zakupu z prawdopodobieństwem 0,2621.

Jak inaczej wykorzystano formułę Bernoulliego (teorię prawdopodobieństwa)? Przykłady rozwiązywania problemów (drugi poziom) poniżej.

Po powyższym przykładzie pojawiają się pytania o to, gdzie zniknęły litery C i p. W stosunku do p liczba w stopniu 0 będzie równa jeden. Podobnie jak w przypadku C, można go znaleźć za pomocą następującego wzoru:

C n m n! = n! m!(nm)! / m! (nm)!

Ponieważ w pierwszym przykładzie m = 0, odpowiednio C = 1, co w zasadzie nie wpływa na wynik. Korzystając z nowej formuły, spróbujmy dowiedzieć się, jakie jest prawdopodobieństwo zakupu towarów przez dwóch odwiedzających.

= C 6 2 ×p 2 ×q 4 = (6×5×4×3×2×1) / (2×1×4×3×2×1) × (0,2) 2 P 6 (2) = C 6 2 × p 2 × q 4 = (6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1) / (2 × 1 × 4 × 3 × 2 × 1) × (0,2) 2 (0,8) 4 × (0,8) 4 15 × 0,04 × 0,4096 = 0,246. = 15 x 0,04 x 0,4096 = 0,246.

Teoria prawdopodobieństwa nie jest tak skomplikowana. Formuła Bernoulliego, której przykłady przedstawiono powyżej, jest tego bezpośrednim dowodem.

Teoria prawdopodobieństwa Przykłady formuły Bernoulliego

Formuła Poissona

Równanie Poissona służy do obliczania nieprawdopodobnych sytuacji losowych.

Podstawowa formuła:

P n (m) = λ m / m! e (-λ) . × e (-λ) .

W tym przypadku λ = n x p. Oto prosta formuła Poissona (teoria prawdopodobieństwa). Przykłady rozwiązywania problemów zostaną rozważone później.

Zadanie 3 : Fabryka wyprodukowała części w ilości 100 000 sztuk. Wygląd wadliwych części = 0,0001. Jakie jest prawdopodobieństwo, że strona będzie 5 wadliwych części?

Jak widzimy, małżeństwo jest mało prawdopodobne i dlatego do obliczeń wykorzystuje się formułę Poissona (teorię prawdopodobieństwa). Przykłady rozwiązywania tego typu problemów nie różnią się od innych zadań dyscypliny, w powyższym wzorze zastępujemy niezbędne dane:

A = "losowo wybrana część będzie uszkodzona."

p = 0,0001 (w zależności od stanu zadania).

n = 100 000 (liczba części).

m = 5 (wadliwe części). Zastąp dane w formule i otrzymamy:

R 100 000 (5) = 10 5/5! X e- 10 = 0,0375.

Podobnie jak formuła Bernoulliego (teoria prawdopodobieństwa), przykłady rozwiązań, za pomocą których są napisane powyżej, równanie Poissona ma nieznany e. W skrócie można go znaleźć za pomocą następującego wzoru:

e- λ = lim n -> ∞ (1-λ / n) n .

Istnieją jednak specjalne tabele, w których znajdują się prawie wszystkie wartości e.

formuła przykładów teorii prawdopodobieństwa z Laplace'a

Twierdzenie Moivarda-Laplace'a

Jeśli w schemacie Bernoulliego liczba testów jest wystarczająco duża, a prawdopodobieństwo wystąpienia zdarzenia A jest takie samo we wszystkich schematach, wówczas prawdopodobieństwo wystąpienia zdarzenia A pewną liczbę razy w serii testów można znaleźć za pomocą formuły Laplace'a

P n (m) = 1 / √npq x φ (X m ).

X m = m-np / √npq.

Aby lepiej zapamiętać formułę Laplace'a (teoria prawdopodobieństwa), przykłady problemów, które pomogą poniżej.

Zadanie 4: Agent reklamowy dystrybuuje 800 ulotek. Według badań statystycznych co trzecia ulotka znajduje konsumenta. Jakie jest prawdopodobieństwo, że dokładnie 267 ulotek będzie działać?

n = 800;

m = 267;

p = 1/3;

q = 2/3.

Najpierw znajdujemy X m , podstawiamy dane (wszystkie są wymienione powyżej) do formuły i otrzymujemy 0,025. Korzystając z tabel, znajdujemy liczbę φ (0,025), której wartość wynosi 0,3988. Teraz możesz zastąpić wszystkie dane we wzorze:

P 800 (267) = 1 / √ (800 x 1/3 x 2/3) x 0,3988 = 3/40 x 0,3988 = 0,03.

Więc prawdopodobieństwo, że ulotka będzie działać dokładnie 267 razy, to jest 0,03.

jak znaleźć prawdopodobieństwo

Formuła Bayes

Formuła Bayesowska (teoria prawdopodobieństwa), przykłady rozwiązywania zadań, za pomocą których zostanie podana poniżej, jest równaniem opisującym prawdopodobieństwo zdarzenia, w oparciu o okoliczności, które można z nim powiązać. Podstawowa formuła jest następująca:

((А | B) = ((В | А) х ((А) / ((В).

A i B to określone zdarzenia.

P (A | B) jest prawdopodobieństwem warunkowym, to znaczy zdarzeniem A, pod warunkiem, że zdarzenie B jest prawdziwe.

P (B | A) - warunkowe prawdopodobieństwo zdarzenia B.

Ostatnią częścią małego kursu "Teoria prawdopodobieństwa" jest formuła Bayesa, przykłady rozwiązań problemów, o których mowa poniżej.

Zadanie 5 : Telefony z trzech firm zostały przywiezione do magazynu. Jednocześnie część telefonów wyprodukowanych w pierwszym zakładzie wynosi 25%, na drugim - 60%, na trzecim - 15%. Wiadomo również, że średni procent wadliwych produktów w pierwszej fabryce wynosi 2%, w drugim - 4%, aw trzecim - 1%. Konieczne jest znalezienie prawdopodobieństwa, że ​​losowo wybrany telefon będzie uszkodzony.

A = "losowo zabrany telefon".

B 1 to telefon, który wyprodukowała pierwsza fabryka. W związku z tym wprowadzono B2 i 3 (dla drugiej i trzeciej fabryki).

W rezultacie otrzymujemy:

P (B 1 ) = 25% / 100% = 0,25; P (B 2 ) = 0,6; P (B 3 ) = 0,15 - więc znaleźliśmy prawdopodobieństwo każdej opcji.

Teraz musisz znaleźć warunkowe prawdopodobieństwo pożądanego zdarzenia, czyli prawdopodobieństwo wadliwych produktów w firmach:

P (A / B 1 ) = 2% / 100% = 0,02;

P (A / B 2 ) = 0,04;

P (A / B 3 ) = 0,01.

Teraz zastąpimy dane formułą Bayesa i otrzymamy:

P (A) = 0,25 x 0,2 + 0,6 x 0,4 + 0,15 x 0,01 = 0,0305.

Artykuł przedstawia teorię prawdopodobieństwa, formuły i przykłady rozwiązywania problemów, ale to tylko wierzchołek góry lodowej rozległej dyscypliny. Po tym wszystkim, co zostało napisane, logiczne będzie pytanie, czy teoria prawdopodobieństwa jest niezbędna w życiu. Odpowiedź zwykłej osoby jest trudna, lepiej spytać tego, kto wielokrotnie z nią zerwał.