Względny i bezwzględny błąd: pojęcie, obliczenie i właściwości

W naszym wieku człowiek wynalazł i wykorzystuje ogromną różnorodność różnych urządzeń pomiarowych. Ale bez względu na to, jak doskonała jest ich technologia produkcji, wszystkie mają większy lub mniejszy błąd. Ten parametr z reguły jest wskazywany na samym instrumencie, a aby ocenić dokładność ustalanej ilości, należy mieć możliwość zrozumienia, co oznaczają liczby wskazane na oznaczeniu. Ponadto błąd względny i bezwzględny powstaje nieuchronnie w złożonych obliczeniach matematycznych. Jest szeroko stosowany w statystykach, przemyśle (kontrola jakości) oraz w wielu innych dziedzinach. Jak ta wartość jest obliczana i jak interpretować jej wartość - o tym właśnie jest ten artykuł.

Błąd bezwzględny

Niech x będzie przybliżoną wartością dowolnej wartości, uzyskanej na przykład przez pojedynczy pomiar, a x ₀ jest jej dokładną wartością. Teraz obliczamy moduł różnicy między tymi dwoma liczbami. Błąd absolutny - to właśnie znaczenie otrzymaliśmy w wyniku tej prostej operacji. W języku formuł tej definicji można zapisać w tej formie: Δ x = | x - x 0 |.

Względny błąd

Odchylenie bezwzględne ma jedną istotną wadę - nie pozwala ocenić stopnia ważności błędu. Na przykład kupujemy 5 kg ziemniaków na rynku, a pozbawiony skrupułów sprzedawca wyrobił sobie 50 gramów na swoją korzyść podczas pomiaru wagi. Oznacza to, że bezwzględny błąd wynosił 50 gramów. Dla nas taki błąd będzie drobnostką i nie będziemy nawet zwracać na to uwagi. I wyobraźcie sobie, co się stanie, jeśli podobny błąd wystąpi podczas przygotowywania leku? Tutaj wszystko będzie znacznie poważniejsze. A podczas ładowania wagonów towarowych odchylenia na pewno są znacznie wyższe niż ta wartość. Dlatego sam błąd bezwzględny jest niedoinformacyjny. Poza tym bardzo często obliczane jest dodatkowe odchylenie, które jest równe stosunkowi błędu bezwzględnego do dokładnej wartości liczby. Zapisuje się to za pomocą następującego wzoru: δ = Δ x / x ₀ .

Właściwości błędu

Załóżmy, że mamy dwie niezależne wartości: x i y. Musimy obliczyć odchylenie od przybliżonej wartości ich sumy. W tym przypadku możemy obliczyć błąd bezwzględny jako sumę uprzednio obliczonych absolutnych odchyleń każdego z nich. W niektórych pomiarach może się zdarzyć, że błędy w ustalaniu wartości x i y będą się wzajemnie kompensować. I może się zdarzyć, że w wyniku dodania odchyleń wzrośnie do maksimum. Dlatego też, gdy obliczany jest całkowity błąd bezwzględny, należy wziąć pod uwagę najgorsze ze wszystkich opcji. To samo dotyczy różnicy błędów kilku wielkości. Właściwość ta jest charakterystyczna tylko dla błędu bezwzględnego i nie może być zastosowana do odchylenia względnego, ponieważ nieuchronnie prowadzi to do nieprawidłowego wyniku. Rozważ tę sytuację w poniższym przykładzie.

Zadanie

Załóżmy, że pomiary wewnątrz cylindra wykazały, że wewnętrzny promień (R ₁ ) wynosi 97 mm, a zewnętrzny (R ₂ ) wynosi 100 mm. Wymagane jest określenie grubości jego ściany. Najpierw znajdź różnicę: h = R ₂ - R ₁ = 3 mm. Jeśli zadanie nie wskazuje, jaki błąd bezwzględny jest równy, jest ono przyjmowane jako połowa podziałki skali urządzenie pomiarowe. Zatem A (R ₂ ) = A (R ₁ ) = 0,5 mm. Całkowity błąd bezwzględny wynosi: Δ (h) = Δ (R ₂ ) + Δ (R ₁ ) = 1 mm. Teraz obliczamy względne odchylenie wszystkich wielkości:

8 (R ₁ ) = 0,5 / 100 = 0,005,

8 (R ₁ ) = 0,5 / 97 ≈ 0,0052,

δ (h) = Δ (h) / h = 1/3 ≈ 0,3333 >> δ (R ₁ ).

Jak widać, błąd pomiaru obu promieni nie przekracza 5,2%, a błąd w obliczeniu ich różnicy - grubość ścianki cylindra - wyniósł aż 33, (3)%!

Następująca właściwość brzmi następująco: względne odchylenie iloczynu kilku liczb jest w przybliżeniu równe sumie względnych odchyleń poszczególnych czynników:

δ (xy) ≈ δ (x) + δ (y).

Co więcej, zasada ta jest prawdziwa niezależnie od liczby szacowanych wartości. Trzecią i ostatnią właściwością błędu względnego jest to, że względna wartość szacunkowa k-tej mocy jest w przybliżeniu w | k | razy błąd względny pierwotnej liczby:

δ (х ^k ) ≈ | k | x δ (x).