Ternary system liczbowy: definicja, właściwości, przykłady

Podstawą wielu obliczeń, zarówno prostych, jak i złożonych matematycznych, jest system liczb dziesiętnych. Trójca znana jest znacznie mniejszemu kręgowi ludzi, ponieważ jest używana bardzo rzadko.

Tylko trzy cyfry

Niektórzy z nas rzadko spotykają się z innymi systemami liczbowymi, więc na początku może być trudno odejść od zwykłych koncepcji - dziesiątek, setek, tysięcy i tak dalej. Istnieje kilka parametrów, które każdy z systemów posiada: baza, alfabet, liczby bitów i terminy bitowe.

Od podstawy możemy zrozumieć, jak nazywa się system liczbowy: system trójskładnikowy ma podstawę trzy, a dziesiętny - dziesięć (działa również przeciwna reguła - nazwa natychmiast pokazuje podstawę).

Alfabet w systemach liczbowych to zbiór znaków, które w tym przypadku są używane do zapisywania liczb. Na przykład dziesiętny system używa dziesięciu liczb (licząc zero), ale w systemie binarnym są tylko dwa, zero i jeden. W ternarium można zastosować 0, 1 i 2. Z tego powodu podstawą jest triplet i cztery znaki w alfabecie, a my wrócimy później.

Cyfra to najmniejsza liczba, jaką można dodać do cyfry, a cyfrą jest cyfra zapisana w określonej cyfrze z wymaganą liczbą zer. Maksymalna możliwa wartość terminu rozładowania zawsze zależy od systemu liczbowego. Oktalny układ liczbowy w drugiej cyfrze ma bity 70, binarnie 10, trójskładnik - 20, a dziesiętnie - 90.

Na przykład, jeśli rozłożymy liczbę dziesiętną 158 na bity, otrzymamy następujący przykład: 100 + 50 + 8 (trzecia cyfra). Druga cyfra 98 pojawi się w postaci 90 + 8.

Alfabet

Liczby w zapisie potrójnym można oznaczyć jako wszystkie zwykłe liczby 0, 1 i 2. Następnie jest to asymetryczny system trójskładnikowy. W symetrycznym stosuje się znaki "minus" i "plus", a więc liczba "-1" jest używana w rekordach. Może być również określany jako jednostka z kreską u góry lub u dołu, jak litera łacińska.

Cyfry potrójne można kodować dowolnymi trzema znakami, na przykład "A, B, C", jednak najpierw należy wskazać ich starszeństwo (na przykład A jest mniejsze niż B, B jest mniejsze niż B).

Prosta formuła

Aby przekonwertować liczbę z dziesiętnego na trójskładnikowy, należy użyć ogólnej formuły. Konieczne jest podzielenie liczby dziesiętnej na podstawie wymaganego systemu i odnotowanie pozostałości od prawej do lewej. Weźmy na przykład liczbę 30. Dzielimy ją przez 3 pierwsze działanie, otrzymujemy 10 bez reszty, więc piszemy 0. Dziesięć dzieli się przez 3 z resztą 1, więc piszemy 1. W trzecim kroku, 3 dzielimy przez podstawę systemu i najpierw piszemy resztę, następnie wynik podziału . W rezultacie otrzymujemy trójskładnikowy numer 1010.

Operacje arytmetyczne

Jeśli, na przykład, komputery z łatwością wykonają operacje matematyczne w swoim własnym "natywnym" systemie binarnym, może to być trudne dla ludzi do odbudowania ich myślenia, ponieważ dla nas najważniejszą rzeczą jest dziesiętny system liczbowy. System trójskładnikowy ma większą pojemność niż binarna, a obliczenia w nim są nieco bardziej skomplikowane, jednak tabela dodawania jest używana we wszystkich systemach pozycyjnych.

Być może wszyscy pamiętają zasadę tworzenia siatki w grze "Bitwa morska": liczby są zapisywane w lewej pionowej kolumnie, a litery są zapisywane w górnej poziomej kolumnie. Sieć dodawania może być wykonana na tej samej zasadzie. Na przykład w asymetrycznym systemie trójskładnikowym są tylko trzy znaki, więc będą cztery kolumny, z których każda powinna zawierać sekwencyjny ciąg liczb. W przykładzie: dolna pozioma kolumna będzie wynosić: 0, 00, 01, 02. Druga kolumna: 1, 01, 02, 10. Trzecie: 2, 02, 10, 11. Możesz rozszerzyć tabelę, jeśli potrzebujesz numerów z innych cyfr (np. , 001 itd.).

Mnożenie

W trójskładnikowym systemie liczba tablic mnożenia wygląda krótko i jest bardziej zwięzła niż dziesiętna, a samo działanie nie jest dużo trudniejsze, ponieważ będziesz musiał pomnożyć liczby nie więcej niż dwa. Aby pomnożyć kolumnę, musisz napisać dwie liczby trójkowe na wierzchu, a następnie pomnożyć pierwszy czynnik przez liczbę bitów drugiego, pomijając zero. Zatem pomnożenie liczby 102 przez 101 będzie wyglądać następująco: 2 * 1 = 2, 0 * 1 = 0, 1 * 1 = 1. Napisz 102. Następnie pomiń zero i pomnóż przez jeden (najwyższa liczba drugiego czynnika).

Jednak dodanie w notacji trójskładnikowej może być wykonane bez żadnej tabeli. Aby to zrobić, zapamiętaj prostą regułę, która mówi: jeśli wynik dodania przekracza zrzut, powinieneś podzielić drugą liczbę na pół. Rozważmy przykład: powiedzmy, że musisz dodać 6 i 8. Wynik dodania jest większy niż ten bit, więc dzielimy 8 na 2, otrzymujemy 4. Ostatni przykład wygląda następująco: 6 + 8 = (6 + 4) + 4 = 10 + 4 = 14.

Trochę historii

Nawet w przypadku obliczeń domowych system dziesiętny nie zawsze był używany. System trójskładnikowy był częściowo wykorzystywany przez starożytnych Sumerów: ich miara pieniędzy i wag była wielokrotnością trzech. Od czasów starożytnych po dzień dzisiejszy w skali dźwigni stosowano podobieństwo systemu trójskładnikowego. Słynny Fibonacci, włoski naukowiec i matematyk (jego prawdziwe imię to Leonardo z Pizy), zaproponował użycie integralnego, symetrycznego systemu trzech liczb. Tablica mnożenia w nim, jak zauważył francuski matematyk OL. Cauchy jest prawie cztery razy krótszy niż dziesiętny.

Dziwny system numerowania

System trójskładnikowy ma nieparzystą podstawę, dzięki czemu uzyskuje się symetryczny układ liczb względem zera (-1, 0, 1), z którym połączonych jest kilka właściwości.
Liczby ujemne są przedstawiane bardziej naturalnie w systemie trójskładnikowym i nie ma również problemu z zaokrąglaniem, ponieważ niższe cyfry, które spadły podczas zaokrąglania w systemie trójskładnikowym, nigdy nie przekraczają w wartości bezwzględnej części liczby odpowiadającej najmniej znaczącej cyfrze najmniej znaczącej cyfry. Oznacza to, że w systemie trójskładnikowym należy odrzucić tylko niższe cyfry i uzyskać najbardziej dokładne przybliżenie.

Liczby ujemne

Całkiem interesujące jest przedstawienie ujemnych cyfr w symetrycznym trójskładnikowym układzie liczbowym. Ponieważ jedna z liter alfabetu to "-1" lub jednostka z kreską powyżej, nie ma potrzeby stosowania oddzielnej cyfry znaku, a wykonywanie operacji arytmetycznych nie wymaga użycia kodu odwrotnego, ponieważ wszelkie akcje z symetrycznym numerem potrójnym są wykonywane według zwykłej reguły ale biorąc pod uwagę znak liczby. Pozytywność lub negatywność liczby zależy od tego, który znak ma największą liczbę w sekwencji. Aby zmienić znak liczby, musisz odwrócić znaki wszystkich cyfr w kodzie.

Interakcja z innymi systemami

Niektóre systemy numeryczne stały się znane z używania ich w technologii komputerowej. Na przykład system binarny lub kod binarny - te słowa są często używane w mediach i kinie, dzięki czemu są znane prawie każdemu. Ale ósemkowy system liczbowy nie jest powszechnie znany, choć jest wykorzystywany w dziedzinie technologii informatycznych ze względu na to, że łatwo go przetłumaczyć na binarny i vice versa, ale o wiele bardziej pojemny.

Dla systemu trójskładnikowego taki pojemny analog jest dziewięciokrotny.

Zastępowanie logiki binarnej

Podstawą wszystkich komputerów elektronicznych naszych czasów jest logika binarna, chociaż trzykrotność jest uważana za bardziej obiecującą. Co zaskakujące, już w latach pięćdziesiątych ubiegłego stulecia symetryczny kod potrójny był już używany w komputerze Setun zbudowanym na Moskiewskim Uniwersytecie Państwowym. Od 2008 roku University of California powtórzył doświadczenie ponad pół wieku temu, budując system komputerowy TCA2, również oparty na logice trójskładnikowej.

Jego zalety w porównaniu z wersją binarną polegają na tym, że używa się mniej cyfr. Na przykład dziesiętny system dziesiętny 10 w systemie dwójkowym pojawia się jako 1010, aw trójskładnikowym asymetrycznie - jako 101 lub jako +0 + w symetrycznym. Pojemność odgrywa również rolę w przypadku, gdy wybrany zostanie określony system liczbowy. Logika Trinity jest ekonomiczna i może pomieścić większy zakres liczb o tej samej liczbie znaków.

Dla tych, którzy nie znają kodu binarnego, może powstać pytanie: dlaczego w ogóle użyć tych systemów liczbowych, jeśli dziesiętny jest pojemny i zrozumiały? Faktem jest, że komputerowe rozumienie kodu binarnego opiera się na prostej logice: jest sygnał, nie ma sygnału. Obecność sygnału oznacza jednostkę, a jej brak oznacza zero, to wszystko. Maszyna nie postrzega kodu jako liczby. Używając kodu dziesiętnego, specjaliści musieliby określić, która opcja odpowiadałaby każdej z cyfr, ale to tylko skomplikowałoby zadanie, ale zrozumienie kodu potrójnego jest dość proste: brak sygnału, słaby sygnał, silny sygnał.

Komputer kwantowy i kod potrójny

Mechanika kwantowa może wydawać się czymś fantastycznym. Jego prawa nadal zadziwiają każdego, kto pierwszy raz go spotyka, ale ludzie od dawna myślą o tym, aby go użyć do stworzenia nowej generacji komputerów, potężniejszych i bardzo szybkich. Będzie to jednak wymagać nowych algorytmów ochrony. Na przykład, aby uzyskać dostęp do karty kredytowej, musisz rozłożyć na czynniki pierwsze ogromną liczbę, która ma setki znaków. Najszybszy nowoczesny komputer będzie w stanie zrobić to na czas, równy wiekowi naszego Wszechświata, ale komputer kwantowy oparty na potrójnej logice poradzi sobie z tym zadaniem.

Kubit - bit kwantowy - opiera się na niepewności spinowania elektronów. Może obracać się zarówno w kierunku zgodnym z ruchem wskazówek zegara (bierzemy to jako zespół), jak i przeciw (zero), jednak istnieje trzecia opcja - niepewność, która może być trzecią "postacią" w alfabecie, a następnie potrójna logika idealnie pasuje.

Złożona praca

Tak, użycie kodu trójkowego średnio przyspiesza pracę komputera o 50%, ale jeśli wystąpi "przeniesienie" do systemu numerów potrójnych wszystkich urządzeń, jak będą działać stare aplikacje i programy? Czy musisz zmieniać wszystko na raz? Nie Logika trójskładnikowa jako stojąca wyżej zawiera wszystkie możliwości kodu binarnego, a poza tym także szereg zalet. Jednak programy muszą być zoptymalizowane pod kątem kodu potrójnego, w przeciwnym razie będą działać jak poprzednio.