Główne typy równań różniczkowych pierwszego rzędu
Znajdź funkcję f przez jakąś zależność, która obejmuje samą funkcję z argumentami i jej pochodnymi. Ten typ problemu dotyczy fizyki, chemii, ekonomii, technologii i innych dziedzin nauki. Takie zależności nazywane są równaniami różniczkowymi. Na przykład y '- 2xy = 2 jest równaniem różniczkowym pierwszego rzędu. Zobaczmy, jak te typy równań zostały rozwiązane.
Co to jest?
Równanie, które wygląda tak:
- f (y, y ', ..., y (10) , y (11) , ..., y (k) , x) = 0,
Nazywa się on zwykłym difur i jest scharakteryzowany jako równanie rzędu k, i zależy od x i pochodnych y ', y' ', ... - aż do k-tego.
Odmiany
W przypadku, gdy funkcja występująca w równaniu różniczkowym jest zależna tylko od jednego argumentu, typ równania różniczkowego nazywamy zwykłym. Innymi słowy, w równaniu funkcja f i wszystkie jej pochodne zależą tylko od argumentu x.
Gdy poszukiwana funkcja zależy od kilku różnych argumentów, równania są nazywane pochodnymi różnicowymi cząstkowymi. Generalnie wyglądają one tak:
- f (x, f x ', ..., y, f y ' ..., z, ..., f z '', ...),
gdzie wyrażenie fx 'oznacza pochodną funkcji w odniesieniu do argumentu x, a f z ' 'jest podwójną pochodną funkcji w odniesieniu do argumentu z, i tak dalej.
Rozwiązanie
Łatwo zgadnąć, co dokładnie jest uważane za rozwiązanie różnicowe. równania. Ta funkcja, której podstawienie w równaniu daje identyczny wynik po obu stronach znaku równości, nazywana jest rozwiązaniem. Na przykład równanie t '' + a2 t = 0 ma rozwiązanie w postaci t = 3Cos (ax) - Sin (ax):
| 1 | t '= | -3aSin (ax) - aCos (ax) |
| 2 | t "= | -3a 2 Cos (ax) + a 2 Sin (ax) |
| 3 | t '' + a 2 t = | (-3a 2 Cos (ax) + a 2 Sin (ax)) + a 2 (3Cos (ax) - Sin (ax)) |
Po przeprowadzeniu uproszczenia równania 3, dowiadujemy się, że t '' a2 t = 0 dla wszystkich wartości argumentu x. Jednak powinien natychmiast dokonać rezerwacji. Równanie t = 3Cos (ax) - Sin (ax) nie jest jedynym rozwiązaniem, ale tylko jednym z nieskończonego zbioru, który opisany jest wzorem mCos (ax) + nSin (ax), gdzie m i n są liczbami arbitralnymi.
Powodem tego związku jest definicja funkcji pierwotnej w rachunku całkowym: jeśli Q jest prymitywne (dokładniej, jeden z wielu) dla funkcji q, to ∫q (x) dx = Q (x) + C, gdzie C jest dowolną stałą, która jest wyzerowana operacja odwrotna - przyjmowanie pochodnej funkcji Q '(x).
Pomijamy definicję rozwiązania równania KH. Nietrudno sobie wyobrazić, że im większa jest kolejność pochodnej, tym więcej stałych powstaje w procesie integracji. Należy również wyjaśnić, że definicja opisana powyżej dla rozwiązania nie jest kompletna. Ale dla matematyków z XVII wieku było to wystarczające.
Poniżej rozważymy tylko główne typy równań różniczkowych pierwszego rzędu. Najbardziej podstawowe i proste. Oprócz nich istnieją inne różnice. równania: jednorodne, w pełnych różnicach i Bernoulliego. Ale rozwiązanie wszystkiego jest często związane z metodą zmiennych zmiennych, które zostaną omówione poniżej.
Separacja zmiennych jako rozwiązanie
F = 0 - jest różnicą. Równanie rzędu 1. Podczas rozwiązywania tego typu równań różniczkowych łatwo je zredukować do postaci y '= f. Na przykład równanie e y ' - 1 - xy = 0 jest zredukowane do postaci y' = ln (1 + xy). Operacja zredukowania równania różniczkowego do tej formy nazywana jest jego rozdzielczością względem pochodnej y '.
Po rozwiązaniu równania, musisz przynieść je do formy różnicowej. Odbywa się to poprzez pomnożenie wszystkich części równości przez dx. Od y '= f otrzymujemy y'dx = fdx. Biorąc pod uwagę fakt, że y'dx = dy, otrzymujemy równanie w postaci:
- dy = f dx - który jest nazywany formą różniczkową.
Oczywiście, y '= f (x) jest najprostszym równaniem różniczkowym pierwszego rzędu. Jego rozwiązanie osiąga się poprzez prostą integrację. Bardziej złożoną formą jest q (y) * y '= p (x), w której q (y) jest funkcją zależną od y, a p (x) jest funkcją zależną od x. Po wprowadzeniu go do formy różnicowej otrzymujemy:
- q (y) dy = p (x) dx
Łatwo zrozumieć, dlaczego równanie nazywa się podzielone: jego lewa strona zawiera tylko zmienną y, a prawa tylko x. Takie równanie rozwiązuje się za pomocą następującego twierdzenia: jeśli funkcja p ma prymitywny P, a q ma Q, to całką difuru będzie Q (y) = P (x) + C.
Rozwiąż równanie z '(x) ctg (z) = 1 / x. Po zmniejszeniu tego równania do postaci różniczkowej: ctg (z) dz = dx / x; i biorąc całkę z obu części ∫ctg (z) dz = dx / x; otrzymujemy rozwiązanie w postaci ogólnej: C + ln | sin (z) | = ln | x |. Ze względu na piękno, równanie to można zapisać w innej formie według reguł logarytmów, jeśli ustawimy C = ln W - otrzymamy W | sin (z) | = | x | lub jeszcze prostsze, WSin (z) = x.
Równania postaci dy / dx = q (y) p (x)
Rozdzielenie zmiennych można zastosować do równań postaci y '= q (y) p (x). Trzeba tylko wziąć pod uwagę przypadek, gdy q (y) dla pewnej liczby znika. To znaczy q (a) = 0. W tym przypadku funkcja y = a jest rozwiązaniem, ponieważ dla it y = 0, zatem q (a) p (x) również wynosi zero. Dla wszystkich innych wartości, gdzie q (y) nie jest równe 0, możemy zapisać formę różniczkową:
- p (x) dx = dy / q (y),
integrując, otrzymaj wspólne rozwiązanie.
Rozwiąż równanie S '= t 2 (Sa) (Sb). Oczywiście korzenie równania to liczby a i b. Dlatego S = a i S = b są rozwiązaniami tego równania. Dla innych wartości S mamy postać różniczkową: dS / [(Sa) (Sb)] = t 2 dt. Skąd łatwo jest uzyskać wspólną całość.
Równania postaci H (y) W (x) y '+ M (y) J (x) = 0
Rozwiązując takie równanie dla y, otrzymujemy: y '= - C (x) D (y) / A (x) B (y). Forma różniczkowa tego równania będzie następująca:
W (x) H (y) dy + J (x) M (y) dx = 0
Aby rozwiązać to równanie, musimy wziąć pod uwagę przypadki zerowe. Jeśli a jest źródłem W (x), to x = a jest całką, ponieważ wynika z tego, że dx = 0. Podobnie, w przypadku, gdy b jest korzeniem M (y). Następnie dla zakresu wartości x, dla których W i M nie znikają, możliwe jest podzielenie zmiennych przez podzielenie przez wyrażenie W (x) M (y). Następnie wyrażenie można zintegrować.
Wiele typów równań, na które na pierwszy rzut oka nie można zastosować rozdzielenia zmiennych, okazują się takie. Na przykład w trygonometrii osiąga się to poprzez identyczne transformacje. Często może też być odpowiednie zastąpienie dowcipne, po którym będzie można zastosować metodę oddzielnych zmiennych. Rodzaje równań różniczkowych pierwszego rzędu mogą wyglądać zupełnie inaczej.
Równania liniowe
Równie ważny rodzaj równań różniczkowych, których rozwiązanie następuje przez podstawienie i zredukowanie ich do metody zmiennych rozdzielonych.
- Q (x) y + P (x) y '= R (x) - to równanie, które jest liniowe, jeśli rozpatrywane w odniesieniu do funkcji i jej pochodnej. P, Q, R - są funkcjami ciągłymi.
W przypadkach, gdy P (x) nie jest równe 0, możliwe jest zredukowanie równania do postaci rozwiązanej w odniesieniu do y ', dzieląc wszystkie części przez P (x).
- y '+ h (x) y = j (x), w którym h (x) i j (x) są odpowiednio stosunkami funkcji Q / P i R / P.
Rozwiązanie dla równań liniowych
Równanie liniowe można nazwać homogenicznym w przypadku, gdy j (x) = 0, to znaczy h (x) y + y '= 0. Takie równanie jest nazywane homogenicznym i jest łatwe do oddzielenia: y' / y = -h (x). Zintegrowanie go, otrzymamy: ln | y | = -H (x) + ln (C). Gdzie y jest wyrażone w postaci y = Ce- H (x) .
Na przykład z '= zCos (x). Oddzielając zmienne i redukując równanie do postaci różniczkowej, a następnie integrując, uzyskujemy, że ogólne rozwiązanie będzie miało wyrażenie y = Ce Sin (x) .
Niejednolite jest równanie liniowe w swojej ogólnej postaci, to znaczy j (x) nie jest równe 0. Jego rozwiązanie składa się z kilku etapów. Najpierw powinieneś rozwiązać homogeniczne równanie. To znaczy, zrównuj j (x) do zera. Pozwól nam być jednym z rozwiązań odpowiedniego homogenicznego równania liniowego. Następnie zachowuje tożsamość u '+ h (x) u = 0.
Wykonaj w y '+ h (x) y = j (x) zmiana formy y = uv i get (uv)' + h (x) uv = j (x) lub u'v + uv '+ h (x) uv = j (x). Po wprowadzeniu równania do postaci u (u '+ h (x) u) + uv' = j (x), widzimy, że w pierwszej części u '+ h (x) u = 0. Gdzie otrzymamy v' (x) = j (x) / u (x). Stąd obliczamy funkcję pierwotną ∫v = V + С. Po odwrotnej zamianie znajdujemy y = u (V + C), gdzie u jest rozwiązaniem równania jednorodnego, a V jest relacją pierwotną j / u.
Znajdź rozwiązanie dla równania y'-2xy = 2, które odnosi się do rodzaju równań różniczkowych pierwszego rzędu. Aby to zrobić, najpierw zdecyduj jednorodne równanie u '- 2xu = 0. Otrzymujemy u = e 2x + C. Dla uproszczenia rozwiązanie jest ustawione na C = 0, ponieważ aby rozwiązać problem, potrzebujemy tylko jednego z rozwiązań, a nie wszystkich rodzajów opcji.
Następnie podstawiamy y = vu i dostajemy v (x) u + v (u '(x) - 2u (x) x) = 2. Następnie: v' (x) e 2x = 2, skąd v '(x ) = 2e -2x . Następnie prymitywny V (x) = -∫e -2x d (-2x) = - e -2x + C. W rezultacie ogólnym rozwiązaniem dla y '- 2xy = 2 jest y = uv = (-1) (e 2x + C ) e -2x = - 1 - Ce -2x .
Jak określić typ równania różniczkowego? Aby to zrobić, rozwiąż je w odniesieniu do pochodnej i zobacz, czy możesz użyć metody oddzielania zmiennych bezpośrednio lub przez podstawienie.