Równoważnikowe równanie jednorodne: cechy i rozwiązanie

Przeanalizujmy jedną z ważnych klas równań różniczkowych, które są rozwiązywane poprzez redukcję do metody rozdziału zmiennych przez podstawienie - równania jednorodne. Porozmawiamy o metodach rozwiązania. równania liniowe które są często mylone z homogenicznymi.

Równania jednorodne

Na początek podajemy definicję. F jest homogeniczne, jeśli prawdą jest, że f (kx, ky) = f (x, y), gdzie k jest dowolną niezerową liczbą. Przykłady jednorodnej funkcji:

Aby zweryfikować ich jednorodność, wystarczy pomnożyć argumenty funkcji F lub A i sprawdzić, czy zmniejsza się.

Zastępowanie e (t) = f (1, t)

Powyżej mówiono, że równania różniczkowe o jednorodnych funkcjach zmniejszają się do rozłącznych poprzez zastąpienie. Aby to wyjaśnić, zastanów się nad lematem.

Lemat 1. Jeśli w jest jednorodną funkcją pierwszego stopnia z argumentami x i y, wówczas tożsamość w (x, y) = e (y / x) jest prawdziwa, i e (t) = f (1, t).

Ten lemat jest udowodniony w trywialny sposób: po prostu musimy ustawić k = 1 / x dla wszystkich niezerowych x.

Zastosowanie zamiennika do rozwiązania y '= f (x, y)

Załóżmy, że mamy y '= f, gdzie f jest funkcją jednorodną. Aby rozwiązać jednorodne równanie różniczkowe na podstawie Lemat 1, możemy przedstawić y '= e (y / x). Równanie można rozwiązać, oddzielając zmienne. Niech y / x = v będzie żądaną funkcją. Więc y = xv, a y '= v + xv'. Otrzymujemy równanie postaci v + xv '= e (v) lub xv' = e (v) - v.

Rozważ to bardziej szczegółowo. W takim przypadku rozwiązaniami równania są wszystkie wartości v = v _n - punkty, w których zanika funkcja [e (v) - v]. Odpowiednio, wartości y _n = vn x - są rozwiązaniem y '= e (y / x). W domenie wartości, gdzie [e (v) - v] nie zanika, można zastosować separację zmiennych. To znaczy:

Integracja, otrzymujemy rozwiązanie E = ln | x | + C.

Uwaga

Zastanów się, dlaczego powyższy zamiennik działa przy rozwiązywaniu jednorodnych równań różniczkowych. Aby to zrobić, weź ogólne rozwiązanie E = ln | x | + C i zamień x na kx i y na ky: E = ln | kx | + C = ln (k) + ln | x | + C. Z kolei wyrażenie ln (k) + C może być reprezentowane jako W, a następnie rozwiązanie będzie wyglądało jak E = ln | x | + W.

Okazuje się, że zamiana x na kx i y na ky prowadzi tylko do zastąpienia jednego rozwiązania innym, ale z tej samej klasy. Innymi słowy, inne rozwiązanie spełnia również pierwotne równanie. Opisana właściwość na płaszczyźnie współrzędnych nazywa się homothety, czyli całkowe krzywe homogenicznych równań różniczkowych przekształcają się w siebie.

Przykład 1

Biorąc pod uwagę równanie l ² + ml + m ² l '+ m ² = 0. Znajdź jego rozwiązanie. Niedoświadczone oko może przez pomyłkę szybko dojść do wniosku, że to równanie nie jest jednorodne, ponieważ zastąpienie km zamiast m i kn zamiast n nie daje pierwotnego równania. Błąd w tym przypadku polega na tym, że równanie nie zostało uprzednio rozwiązane w odniesieniu do pochodnej n '. Zróbmy to.

W tej formie łatwo jest stwierdzić, że równanie jest jednorodne.

Przechodzimy do rozwiązania, zastępując l / m = v. Otrzymujemy l = vm i l '= mv' + v. Zastąp te wartości równaniem:

Otrzymujemy mv '= - (v + 1) ² . Oczywiście, punktem -1 jest "nj rozwiązanie równania, a przed zastąpieniem n = -m. Gdy v + 1 nie jest równe zeru, podziel zmienne:

Z powstałego równania w formie różniczkowej można łatwo znaleźć wspólną całkę:

Dokonamy wymiany zwrotnej:

Nie należy również zapominać o znalezionym wcześniej rozwiązaniu n = -m.

Równania różniczkowe liniowe

Często homogeniczne równania różniczkowe są mylone z liniowymi. Dla kompletności rozważmy trochę i tę klasę. Tak więc równanie różniczkowe nazywa się liniowym, w którym funkcja i jej pochodna są ułożone liniowo, to znaczy otrzymujemy równanie, które ma następującą postać:

• o (x) y '+ w (x) y = e (x);

w, o, e - reprezentują dowolne funkcje.

Aby rozwiązać to równanie dla y, należy wziąć pod uwagę wszystkie korzenie o (x). Załóżmy, że dla pewnej liczby o (x ₀ ) = 0, wówczas jednym z rozwiązań opisanego równania jest x ₀ , ponieważ otrzymujemy o (x ₀ ) dy = 0 i dx = 0. Staje się to oczywiste, jeśli zapiszemy różniczkową postać równania, mnożąc obie strony przez dx: o (x) dy + w (x) ydx = e (x) dx.

Eliminując zerowe wartości o (x), dla pozostałych wartości x, zapisz równanie w rozwiązanej formie, dzieląc je przez o (x).

Rozwiązywanie równań różniczkowych liniowych

W tej klasie równań istnieją dwie opcje. Pierwszym z nich jest, gdy wolny termin p (x) jest równy zeru (jednorodny), a drugi jest gdy p (x) jest niezerowy (niejednorodny). Mamy więc następujące dwa przypadki:

• y '+ r (x) y = 0 jest równaniem jednorodnym.
• y '+ r (x) y = p (x) jest niehomogenicznym równaniem.

Homogenność łatwo redukuje się do postaci podzielonej y '/ y = -r (x) lub dy / y = -r (x) dx. Po integracji otrzymujemy ogólne rozwiązanie dla równań jednorodnych: y = Ce ^{-r (x)} .

W ogólnym przypadku równanie liniowe (niejednorodne) rozwiązuje się w kilku etapach:

1. Po pierwsze, odpowiadające równanie rozwiązuje się jednolicie: p (x) jest konwencjonalnie utożsamiane z 0. Załóżmy, że u jest pożądanym rozwiązaniem, to znaczy, że mamy u '+ r (x) u = 0. Pamiętaj o tej tożsamości.
2. W równaniu niejednorodnym wprowadzamy podstawienie y = uv, a następnie (uv) "+ (uv) r (x) = p (x). Po dokonaniu transformacji mamy v (r (x) u + u ') + uv' = p (x). Przywołując tożsamość z pozycji 1 otrzymujemy v'u = p (x). W tym przypadku prymityw można łatwo znaleźć z v '= p / u.
3. W rezultacie niejednorodny roztwór składa się z dwóch części: u (C + V), w której u jest roztworem homogenicznym o zerowej stałej, a V jest prymitywne dla stosunku p / u.

Kolejne pomieszanie równań jednorodnych powstaje przy rozpatrywaniu jednorodnych układów równań. Jest to jednak inna sprawa, której uwzględnienie wykracza poza zakres tego artykułu.

Przykłady

Biorąc pod uwagę problem. Potrzebujesz znaleźć rozwiązanie.

Oczywiście to równanie jest niejednolite, więc najpierw rozwiązujemy następujące równanie:

Należy zauważyć, że jednym z rozwiązań równania jest y = 0. Znalezienie rozwiązania ogólnego następuje poprzez formę różniczkową, która pozwala na użycie separacji zmiennych:

Integracja prowadzi do rozwiązania: ln | y | = A - ln (1 + t ² ) / 2. Reprezentując A jako ln B, możesz napisać rozwiązanie bardziej elegancko:

Rozwiązanie równania niejednorodnego można wykonać w inny, podobny sposób, który nazywamy metodą zmienności stałej lub metodą Lagrange'a. Opiszemy to teoretycznie.

W równaniu różniczkowym postaci r (x) y + y '= p (x), zmieniamy y = c (x) e- ^{R (x)} , w którym R (x) jest prymitywne r (x) i (x) - nieznana funkcja do ustalenia.

Po wszystkich przekształceniach okazuje się, że c '(x) = e ^{R (x)} f (x). Skąd (x) jest łatwo zintegrowany. Zastępując c (x) powrotem do y = c (x) e- ^{R (x)} , otrzymujemy y = e- ^{R (x)} c (x) + De- ^{R (x)} - ogólne rozwiązanie równania, gdzie D jest stałą , które występuje, gdy c (x) jest zintegrowany.

Używając metody Lagrange dla naszego problemu, ustawiliśmy:

Podstawiając tę ​​zmianę do pierwotnego równania, stwierdzamy, że c (t) = (1/2) t ² . Piszemy rozwiązanie niejednorodnego równania:

Rozważ kolejny przykład. Znajdź rozwiązania (x - 2xy - y ² ) dy + y ² dx = 0. Zauważ, że y = 0 jest jednym z rozwiązań równania. Wykorzystując ten fakt, możemy podzielić wszystkie części równania przez wyrażenie y ² dy. Po przeprowadzeniu pewnych transformacji otrzymujemy:

Należy zauważyć, że wydawało się, że rozwinęliśmy zależność. Dlaczego nie? X i y w funkcji są równe i zależą od siebie nawzajem. Teraz rozwiązujemy nie funkcję y (x), ale x (y), a x ' _y jest tylko pochodną funkcji x (y) względem zmiennej y. Lub dx / dy. W tej formie łatwo jest stwierdzić, że mamy do czynienia z równaniem niejednorodnym, więc rozwiązujemy to jednorodne równanie w następujący sposób:

Otrzymujemy x = Cy ² e ^{1 / y} . Pozostaje tylko znaleźć rozwiązanie pierwotnego równania metodą wariacyjną, ustawiając x = y ² c (y) e ^{1 / y} . Po zastąpieniu tej podstawienia w równaniu mamy:

Skąd obliczamy c (y) = e ^{-1 / y} + D. Rozwiązanie problemu będzie następujące:

y = 0

x = y ² + Dy ² e ^{1 / y} .

Rozważaliśmy sposoby rozwiązywania liniowych równań jednorodnych.