Objętość stożka, jego obliczenia

Geometria jako nauka powstała w starożytnym Egipcie i osiągnęła wysoki poziom rozwoju. Słynny filozof Platon założył Akademię, w której szczególną uwagę poświęcono systematyzacji istniejącej wiedzy. Stożek jako jeden z geometryczne kształty po raz pierwszy wspomniany w słynnym traktacie Euclid "The Beginning". Euklides znał dzieła Platona. Teraz niewiele osób wie, że słowo "stożek" w tłumaczeniu z języka greckiego oznacza "szyszka". Grecki matematyk Euclid, który mieszkał w Aleksandrii, uważany jest za twórcę geometrycznej algebry. Starożytni Grecy nie tylko stali się następcami wiedzy o Egipcjanach, ale także znacznie rozszerzyli teorię.

Historia definicji stożka

Geometria jako nauka wyłoniła się z praktycznych wymagań budowy i obserwacji natury. Stopniowo wiedza eksperymentalna została uogólniona, a właściwości niektórych ciał zostały udowodnione przez innych. Starożytni Grecy wprowadzili pojęcie aksjomatów i dowodów. Aksjomat to wypowiedź uzyskana w sposób praktyczny i niewymagająca dowodu.

W swojej książce Euclid przytoczył definicję stożka jako figury, którą uzyskuje się obracając prostokątny trójkąt wokół jednej z nóg. Jest również właścicielem głównego twierdzenia, które określa objętość stożka. Twierdzenie to zostało udowodnione przez starożytnego greckiego matematyka Eudoksosa z Cnidus.

Inny matematyk starożytnej Grecji, Apoloniusz z Perg, który był uczniem Euklidesa, rozwinął i objaśnił teorię powierzchni stożkowych w swoich książkach. Należy do definicji powierzchni stożkowej i do niej siecznej. Dzieci w wieku szkolnym naszej historii uczą się geometrii euklidesowej, która zachowała główne twierdzenia i definicje od czasów starożytnych.

Podstawowe definicje

Prosty okrągły stożek tworzy się obracając trójkąt prostokątny wokół pojedynczej nogi. Jak widać, koncepcja stożka nie zmieniła się od czasów Euklidesa.

Hypotenusa AS trójkąt prostokątny AOS, obracając się wokół nogi OS, tworzy boczną powierzchnię stożka, dlatego nazywa się generatrix. Noga OS trójkąta zmienia się jednocześnie w wysokość stożka i jego osi. Punkt S staje się wierzchołkiem stożka. Catet AO, opisujący okrąg (podstawa), przekształcony w promień stożka.

Jeśli płaszczyzna jest narysowana od góry przez wierzchołek i oś stożka, wówczas widzimy, że uzyskany przekrój osiowy jest trójkątem równoramiennym, w którym oś jest wysokością trójkąta.

Często konieczne jest również obliczenie powierzchni bocznej korpusu obrotowego. Obszar powierzchni bocznej stożka jest równy iloczynowi połowy długości obwodu podstawy i tworzącej stożka.

S = C * L / 2 = n * R * L / 2

gdzie C jest obwodem podstawowym, l jest długością macierzy stożka, R jest promieniem podstawowym.

Wzór do obliczania objętości stożka

Poniższa formuła służy do obliczenia objętości stożka:

V = S * H ​​/ 3,

gdzie S jest obszarem podstawy stożka. Ponieważ podstawą jest koło, jego powierzchnia obliczana jest w następujący sposób:

S = nR ² .

Wynika z tego:

V = n * R ² * H / 3,

gdzie V jest objętością stożka;

n to liczba równa 3,14;

R jest podstawowym promieniem odpowiadającym segmentowi AO na Figurze 1;

H - wysokość równa OS segmentu.

Obcięta objętość stożka

Jest prosty okrągły stożek. Jeśli samolot jest prostopadły do ​​wysokości, odciąć górną część, otrzymasz ścięty stożek. Jego dwie podstawy mają kształt kołowy z promieniami R1 i R2.

R ₁ = A;

R ₂ = B;

H = H.

Jeżeli prosty stożek powstaje przez obrót trójkąta prostokątnego, wówczas ścięty stożek obraca się. prostokątny trapez po prostej stronie.

Objętość ściętego stożka oblicza się według następującego wzoru:

V = n * (R ₁ ² + R ₂ ² + R ₁ * R ₂ ) * H / 3.

Stożek i jego przekrój w płaszczyźnie

Starożytny grecki matematyk Peru Apoloniusz z Pergskiego należy do pracy teoretycznej "Sekcja stożkowa". Dzięki swojej pracy w geometrii pojawiły się definicje krzywych: parabolów, elips, hiperboli. Rozważ, a tu jest stożek.

Weź prosty okrągły stożek. Jeśli płaszczyzna przecina ją prostopadle do osi, to w odcinku tworzy się okrąg. Kiedy siecznik przecina stożek pod kątem do osi, uzyskuje się elipsę w przekroju.

Sieczna płaszczyzna prostopadła do podstawy i równoległa do osi stożka tworzy hiperbolę na powierzchni. Płaszczyzna przecinająca stożek pod kątem do podstawy i równoległa do stycznej do stożka tworzy krzywą na powierzchni, która jest nazywana parabolą.

Rozwiązywanie problemów

Nawet proste zadanie, jak zrobić wiadro z pewnej objętości, wymaga wiedzy. Na przykład musisz obliczyć rozmiar wiadra, aby jego objętość wynosiła 10 litrów.

Biorąc pod uwagę:

V = 10 1 = 10 dm ³ ;

R1 = 15 cm;

R ₂ = 25 cm.

Przemiatanie stożka ma postać schematycznie pokazaną na rysunku 3.

L - formowanie stożka.

Aby dowiedzieć się powierzchnia wiadra, która jest obliczana według następującego wzoru:

S = n * (R ₁ + R ₂ ) * L,

konieczne jest obliczenie generatora. Znaleźliśmy go z objętości V = n * (R ₁ ² + R ₂ ² + R ₁ * R ₂ ) * H / 3.

Zatem H = 3 V / n * (R ₁ ² + R ₂ ² + R ₁ * R ₂ ).

Stożek ścięty jest formowany przez obracanie prostokątnego trapezu, w którym boczny bok tworzy stożek.

L ² = (R 2R ₁ ) ² + H ² .

Teraz mamy wszystkie dane potrzebne do zbudowania łyżki do rysowania.

Dlaczego wiaderka na ogień mają kształt stożka?

Kto pomyślał, dlaczego wiadra z ogniem mają pozornie dziwny stożkowy kształt? I to nie tylko. Okazuje się, że stożkowe wiadro do gaszenia pożaru ma wiele zalet w stosunku do konwencjonalnego kształtu stożka ściętego.

Po pierwsze, jak się okazuje, wiadro ognia jest wypełnione wodą szybciej i nie rozlewa się, gdy jest przewożona. Stożek, który jest większy niż zwykłe wiadro na raz, umożliwia transport większej ilości wody.

Po drugie, woda z niej może być wyrzucona na większą odległość niż ze zwykłego wiadra.

Po trzecie, jeśli stożkowe wiadro uwolni się z rąk i wpadnie do ognia, cała woda zostanie wylana na źródło ognia.

Wszystkie te czynniki mogą zaoszczędzić czas - główny czynnik w gaszeniu pożaru.

Praktyczne zastosowanie

Dzieci w wieku szkolnym często mają pytanie, dlaczego powinny nauczyć się obliczać objętość różnych ciał geometrycznych, w tym stożka.

Konstruktorzy nieustannie muszą obliczać objętość stożkowych części mechanizmów. Są to końcówki wierteł, części tokarek i frezarek. Kształt stożka pozwala na łatwe wprowadzanie wiertła do materiału bez konieczności wstępnego fastrygowania za pomocą specjalnego narzędzia.

Objętość stożka ma stos piasku lub ziemi, wylany na ziemię. Jeśli to konieczne, dokonując prostych pomiarów, można obliczyć jego objętość. Niektórzy będą zdezorientowani przez pytanie, jak znaleźć promień i wysokość stosu piasku. Uzbrojeni w taśmę mierzymy obwód pagórka C. Za pomocą wzoru R = C / 2n uczymy się promienia. Rzucanie liną (taśma miernicza) nad górą, znajdujemy długość generatora. I obliczyć wysokość twierdzenia Pitagorasa, a objętość nie jest trudna. Oczywiście, takie obliczenie jest przybliżone, ale pozwala określić, czy nie oszukałeś cię, przynosząc tonę piasku zamiast sześcianu.

Niektóre budynki mają kształt ściętego stożka. Na przykład wieża telewizyjna Ostankino zbliża się do stożka. Może być reprezentowany jako składający się z dwóch stożków umieszczonych jeden na drugim. Kopuły starożytnych zamków i katedr to stożek, którego wielkość starożytni architekci obliczali z niezwykłą dokładnością.

Jeśli przyjrzysz się otaczającym obiektom, wiele z nich to stożki:

• lejowe puszki do nalewania płynów;
• głośnik tubowy;
• stożki parkingowe;
• klosz do lampy podłogowej;
• znajoma choinka;
• instrumenty dęte.

Jak widać z powyższych przykładów, umiejętność obliczania objętości stożka, powierzchni jego powierzchni jest niezbędna w życiu zawodowym i codziennym. Mamy nadzieję, że artykuł przyjdzie ci z pomocą.