Wartość wektorowa w fizyce: definicja, oznaczenie, przykłady

W matematyce wektor jest skierowanym segmentem o określonej długości. W fizyce ilość wektorowa rozumiana jest jako pełna charakterystyka pewnej wielkości fizycznej, która ma moduł i kierunek działania. Rozważ podstawowe właściwości wektorów, a także przykłady wielkości fizycznych wektorowych.

Skalary i wektory

Skalary w fizyce to parametry, które można zmierzyć i reprezentować za pomocą jednej liczby. Na przykład temperatura, masa i objętość są skalarami, ponieważ są one mierzone odpowiednio liczbą stopni, kilogramów i metrów sześciennych.

W większości przypadków okazuje się, że liczba określająca wartość skalarną nie zawiera wyczerpujących informacji. Na przykład, biorąc pod uwagę taką fizyczną charakterystykę, jak przyspieszenie, nie wystarczy powiedzieć, że wynosi ona 5 m / s ² , ponieważ trzeba wiedzieć, gdzie jest kierowana, wbrew prędkości ciała, pod pewnym kątem do tej prędkości lub w inny sposób. Oprócz przyspieszenia prędkość jest przykładem ilości wektorowej w fizyce. Do tej kategorii zalicza się także siłę, siłę pola elektrycznego i wiele innych.

Zgodnie z definicją wielkości wektora jako segmentu skierowanego w przestrzeni, może on być reprezentowany jako zbiór liczb (składników wektora), jeśli jest oglądany w określonym układzie współrzędnych. Najczęściej w fizyce i matematyce pojawiają się problemy, które, aby opisać wektor, wymagają znajomości jego dwóch (problemów na płaszczyźnie) lub trzech (problemów w przestrzeni) składników.

Definicja wektorowa w przestrzeni n-wymiarowej

W n-wymiarowej przestrzeni, gdzie n jest liczbą całkowitą, wektor zostanie jednoznacznie określony, jeśli jego n składników jest znanych. Każdy element reprezentuje współrzędną końca wektora wzdłuż odpowiedniej osi współrzędnych, pod warunkiem, że początek wektora znajduje się na początku układu współrzędnych przestrzeni n-wymiarowej. W rezultacie wektor może być reprezentowany jako: v = {a ₁ , a ₂ , a ₃ , ..., a _n }, gdzie ₁ to wartość skalarna pierwszego składnika wektora v. W związku z tym w przestrzeni trójwymiarowej wektor zostanie zapisany jako v = {a ₁ , a ₂ , a ₃ }, a także w 2-wymiarowej przestrzeni - v = {a ₁ , a ₂ }.

Jak wskazuje wartość wektora? Każdy wektor w 1-wymiarowych, 2-wymiarowych i 3-wymiarowych przestrzeniach może być reprezentowany jako skierowany segment leżący między punktami A i B. W tym przypadku jest oznaczony jako AB ^→ , gdzie strzałka wskazuje, że jest to wartość wektorowa. Kolejność liter można określić od początku wektora do końca. Oznacza to, że jeśli współrzędne punktów A i B, na przykład w przestrzeni trójwymiarowej, wynoszą odpowiednio: {x ₁ , y ₁ , z ₁ } i {x ₂ , y ₂ , z ₂ }, wówczas składniki wektora AB ^→ będą równe {x _2- x ₁ , y ₂ -y ₁ , z _2- z ₁ }.

Graficzna reprezentacja wektora

Na rysunkach zwyczajowo przedstawia się wielkość wektora jako odcinek, na jego końcu znajduje się strzałka wskazująca kierunek wielkości fizycznej, której reprezentacją jest. Ten segment jest zazwyczaj podpisany, na przykład, v ^→ lub F ^→ , aby było jasne, która cecha jest przeznaczona.

Graficzna reprezentacja wektora pomaga zrozumieć, gdzie fizyczna ilość jest stosowana iw jakim kierunku. Ponadto wygodne jest wykonywanie wielu operacji matematycznych na wektorach przy użyciu ich obrazów.

Operacje wektorowe matematyczne

Wartości wektorowe, jak również liczby zwykłe, można dodawać, odejmować i mnożyć zarówno ze sobą, jak iz innymi liczbami.

Suma dwóch wektorów jest trzecim wektorem, który uzyskuje się, gdy zsumowane parametry są ustawione tak, że koniec pierwszego pokrywa się z początkiem drugiego wektora, a następnie łączy początek pierwszego i końca drugiego wektora. Aby wykonać to działanie matematyczne, opracowano trzy główne metody:

1. Metoda równoległoboku polegająca na skonstruowaniu figury geometrycznej na dwóch wektorach pochodzących z tego samego punktu w przestrzeni. Przekątna tego równoległoboku, która wychodzi ze wspólnego punktu początkowego wektorów, będzie ich sumą.
2. Metoda wielobokowa, której istotą jest to, że początek każdego kolejnego wektora powinien być umieszczony na końcu poprzedniego, wtedy wektor sumujący połączy początek pierwszego i końca ostatniego.
3. Metoda analityczna, polegająca na dodaniu parami odpowiednich składników znanych wektorów.

Jeśli chodzi o różnicę wielkości wektorów, można ją zastąpić, dodając pierwszy parametr do tego, który jest przeciwny w kierunku do drugiego.

Mnożenie wektora przez pewną liczbę A odbywa się według prostej zasady: liczba ta powinna być pomnożona przez każdy składnik wektora. Wynikiem jest również wektor, którego moduł jest A razy oryginalny, a kierunek jest taki sam lub przeciwny do oryginalnego, wszystko zależy od znaku liczby A.

Nie można podzielić wektora ani liczby, ale dzielenie wektora przez liczbę A jest analogiczne do liczby mnożonej przez liczbę 1 / A.

Produkt skalarny i wektorowy

Mnożenie wektorów może odbywać się na dwa sposoby: skalar i wektor.

Iloczyn skalarny wielkości wektorów nazywany jest taką metodą mnożenia, której wynikiem jest jedna liczba, czyli skalar. W postaci macierzowej iloczyn skalarny zapisywany jest jako rzędy składnika pierwszego wektora na kolumnie składników drugiego. W rezultacie w n-wymiarowej przestrzeni otrzymujemy formułę: (A ^→ * B ^→ ) = a ₁ * b ₁ + a ₂ * b ₂ + ... + a _n * b _n .

W przestrzeni trójwymiarowej można inaczej zdefiniować produkt skalarny. Aby to zrobić, pomnóż moduły odpowiednich wektorów przez cosinus kąta między nimi, czyli (A ^→ * B ^→ ) = | A ^→ | * | B ^→ | * cos (θ _AB ). Z tego wzoru wynika, że ​​jeśli wektory są skierowane w jednym kierunku, to iloczyn skalarny jest równy zwielokrotnieniu ich modułów, a jeśli wektory są prostopadłe względem siebie, wówczas okazuje się, że jest zerowy. Zauważ, że moduł wektora w prostokątnym układzie współrzędnych jest zdefiniowany jako pierwiastek kwadratowy z sumy kwadratów składników tego wektora.

Pod produktem wektorowym zrozum to zwielokrotnienie wektora przez wektor, którego wynikiem jest również wektor. Jego kierunek jest prostopadły do ​​każdego z pomnożonych parametrów, a długość jest równa iloczynowi modułów wektorów i sinusowi kąta między nimi, to znaczy A ^→ x B ^→ = | A ^→ | * | B ^→ | * sin (θ _AB ), gdzie x jest oznacza produkt wektorowy. W postaci macierzowej ten typ pracy jest reprezentowany jako wyznacznik, którego wiersze są wektorami elementarnymi danego układu współrzędnych i składowymi każdego wektora.

Zarówno produkty skalarne, jak i wektorowe są używane w matematyce i fizyce, aby określić wiele wielkości, na przykład obszar i objętość rysunków.

Poniższy artykuł podaje przykłady wielkości wektorów w fizyce.

Prędkość i przyspieszenie

Szybkość w fizyce jest prędkością zmiany położenia danego punktu materialnego. Prędkość w systemie SI mierzona jest w metrach na sekundę (m / s) i oznaczana jest symbolem v ^→ . Pod wpływem przyspieszenia zrozumieć prędkość zmiany prędkości. Przyspieszenie mierzone jest w metrach na sekundę kwadratową (m / s ² ) i zwykle jest oznaczone symbolem a ^→ . Wartość 1 m / s ² wskazuje, że na sekundę ciało zwiększa prędkość o 1 m / s.

Prędkość i przyspieszenie są wielkościami wektora, które biorą udział w formule drugiego prawa Newtona i przemieszczeniem ciała jako punktu materialnego. Prędkość jest zawsze kierowana wzdłuż kierunku ruchu, podczas gdy przyspieszenie może być skierowane dowolnie w stosunku do poruszającego się ciała.

Siła fizyczna

Siła jest fizyczną wielkością wektora, która odzwierciedla intensywność interakcji między ciałami. Jest oznaczony symbolem F ^→ , mierzony w niutonach (H). Z definicji 1 N jest siłą zdolną do zmiany prędkości ciała o masie 1 kg na 1 m / s na każdą sekundę czasu.

Ta fizyczna ilość jest szeroko stosowana w fizyce, ponieważ jest związana z charakterystyką energetyczną procesów interakcji. Natura siły może być bardzo różna, na przykład siły grawitacyjne planet, siła, która powoduje ruch samochodu, siły sprężystości mediów stałych, siły elektryczne, które opisują zachowanie ładunków elektrycznych, siły magnetyczne, jądrowe, które determinują stabilność jąder atomowych, i tak dalej.

Wartość wektora ciśnienia

Inna wartość jest ściśle związana z pojęciem siły - ciśnienia. W fizyce rozumie się normalny rzut siły na miejsce, w którym działa. Ponieważ siła jest wektorem, wówczas zgodnie z zasadą mnożenia liczby przez wektor, ciśnienie będzie również wielkością wektora: P ^→ = F ^→ / S, gdzie S jest obszarem. Ciśnienie jest mierzone w paskalach (Pa), 1 Pa jest parametrem, w którym prostopadła siła 1 N działa na powierzchni 1 m2. W oparciu o tę definicję wektor ciśnienia jest kierowany w tym samym kierunku co wektor siły.

W fizyce pojęcie ciśnienia jest często wykorzystywane do badania zjawisk w cieczach i gazach (na przykład prawo Pascala lub równanie stanu gazu idealnego). Ciśnienie jest ściśle związane z temperaturą ciała, ponieważ energia kinetyczna atomów i cząsteczek, których reprezentacja jest temperaturą, wyjaśnia naturę samego ciśnienia.

Natężenie pola elektrycznego

Wokół naładowanego ciała znajduje się pole elektryczne, którego charakterystyczną cechą jest intensywność. Ta intensywność jest definiowana jako siła działająca w danym punkcie pola elektrycznego na ładunek jednostkowy umieszczony w tym punkcie. Intensywność pola elektrycznego jest oznaczona literą E ^→ i jest mierzona w niutonach na zawieszkę (H / Cl). Wektor natężenia jest kierowany wzdłuż linii pola elektrycznego w jego kierunku, jeśli ładunek jest dodatni, a przeciw niemu, jeżeli ładunek jest ujemny.

Pole elektryczne generowane przez ładunek punktowy może być określone w dowolnym punkcie przy użyciu prawa Coulomba.

Indukcja magnetyczna

Pole magnetyczne, jak pokazano w XIX wieku, naukowcy Maxwell i Faraday, jest ściśle związane z polem elektrycznym. W ten sposób zmieniające się pole elektryczne wytwarza pole magnetyczne i na odwrót. Dlatego oba rodzaje pól są opisane w kategoriach elektromagnetycznych zjawisk fizycznych.

Indukcja magnetyczna opisuje właściwości wytrzymałościowe pola magnetycznego. Czy indukcja magnetyczna jest wartością skalarną czy wektorową? Można to zrozumieć, wiedząc, że jest ona określona przez siłę F ^→ działającą na ładunek q, który leci z prędkością v ^→ w polu magnetycznym, zgodnie z następującym wzorem: F ^→ = q * | v ^→ x B ^→ |, gdzie B ^→ - indukcja magnetyczna. Tak więc, odpowiadając na pytanie, czy skalar lub wektor jest indukcją magnetyczną, można powiedzieć, że jest to wektor, który jest skierowany od północnego bieguna magnetycznego do południowego. Zmierzony B ^→ w tesli (T).

Fizyczna kandela

Innym przykładem ilości wektora jest kandela, która jest wprowadzana do fizyki poprzez strumień świetlny, mierzony w lumenach, przechodząc przez powierzchnię ograniczoną kątem 1 steradiana. Candela odzwierciedla jasność światła, ponieważ pokazuje gęstość strumienia świetlnego.