Postęp arytmetyczny - sekwencja numeryczna

12.04.2019

Ktoś jest ostrożny wobec słowa "postęp" jako bardzo skomplikowanego terminu z sekcji wyższej matematyki. Tymczasem najprostszym postępem arytmetycznym jest praca licznika taksówek (gdzie nadal pozostają). A zrozumienie istoty (aw matematyce nie ma nic ważniejszego niż "zrozumieć istotę") arytmetycznej sekwencji nie jest tak trudne, po zrozumieniu kilku elementarnych pojęć.

Matematyczna sekwencja liczb

Sekwencja liczbowa jest zwykle nazywana serią liczb, z których każda ma swój własny numer.

i 1 - pierwszy członek sekwencji;

i 2 - drugi człon sekwencji;

...

i 7 - siódmy członek sekwencji;

...

a n jest n-tym członkiem sekwencji;

Jednak nie interesuje nas żaden arbitralny zestaw liczb i liczb. Nasza uwaga będzie skupiona na sekwencji liczbowej, w której wartość n-tego terminu jest związana z jej liczbą porządkową poprzez relację, którą można jasno określić matematycznie. Innymi słowy: wartość numeryczna n-tej liczby jest funkcją n.

Postęp arytmetyczny

gdzie:

a jest wartością członka sekwencji liczbowej;

n to jego numer kolejny;

f (n) jest funkcją, gdzie numer sekwencji w ciągu liczbowym n jest argumentem.

Definicja

Postęp arytmetyczny nazywany jest sekwencją liczbową, w której każde kolejne wyrażenie jest większe (mniejsze) niż poprzednie o tę samą liczbę. Wzór na n-ty termin sekwencji arytmetycznej wygląda następująco:

Postęp arytmetyczny

gdzie

a n - wartość bieżącego członka progresji arytmetycznej;

a n + 1 jest formułą dla następnej liczby;

d - różnica (pewna liczba).

Łatwo jest stwierdzić, że jeśli różnica jest dodatnia (d> 0), wówczas każdy kolejny członek rozważanej serii będzie większy niż poprzedni i taka arytmetyczna progresja będzie wzrastać.

Przykład:

a 1 = 5

d = 3

następnie

numer członka - n

1

2

3

4

5

6

wartość członka - a n

5

8

11

14

17

20

Na poniższym wykresie nie jest trudno prześledzić, dlaczego sekwencja numeryczna nazywa się "zwiększaniem".

Postęp arytmetyczny

W przypadkach, gdy różnica jest ujemna (d <0), każdy kolejny członek będzie, z oczywistych względów, mniejszy niż poprzedni, wykres progresji "pójdzie" w dół, a arytmetyczna progresja, odpowiednio, będzie określana jako malejąca.

Wartość określonego elementu

Czasami konieczne jest określenie wartości dowolnych arbitralnych a n arytmetycznych progresji. Można to zrobić, obliczając kolejno wartości wszystkich członków postępu arytmetycznego, od pierwszego do pożądanego. Jednak taka ścieżka nie zawsze jest akceptowalna, jeśli na przykład konieczne jest znalezienie wartości pięciotysięcznego lub ośmiomilionowego członka. Tradycyjne obliczenia zajmie dużo czasu. Jednak konkretna progresja arytmetyczna może być zbadana przy użyciu pewnych formuł. Istnieje również formuła dla n-tego terminu: wartość dowolnego elementu arytmetycznej progresji może być określona jako suma pierwszego okresu progresji z różnicą progresji pomnożoną przez liczbę odnalezionego elementu, zmniejszoną o jeden.

Postęp arytmetyczny

Formuła ma charakter uniwersalny w przypadku rosnącej i malejącej progresji.

Przykład obliczenia wartości danego elementu

Rozwiązujemy następujący problem ze znalezieniem wartości n-tego terminu progresji arytmetycznej.

Warunek: istnieje arytmetyczna progresja z parametrami:

- pierwszy człon sekwencji to 3;

- różnica w liczbie szeregów wynosi 1,2.

Zadanie: konieczne jest znalezienie wartości 214 członków

Rozwiązanie: aby określić wartość danego członka, używamy formuły:

a (n) = a1 + d (n-1)

Zastępując w danych wyrażeń z warunków problemu mamy:

a (214) = a1 + d (n-1)

a (214) = 3 + 1,2 (214-1) = 258,6

Odpowiedź: 214. element sekwencji jest równy 258,6.

Zalety tej metody obliczeń są oczywiste - całe rozwiązanie zajmuje nie więcej niż 2 linie.

Liczba określonej liczby członków

Bardzo często w danej serii arytmetycznej wymagane jest ustalenie sumy wartości określonego segmentu. W tym celu nie ma również potrzeby obliczania wartości każdego elementu, a następnie podsumowywania. Ta metoda ma zastosowanie, jeśli liczba członków, których suma się znajduje, jest niewielka. W innych przypadkach wygodniej jest zastosować następującą formułę.

Suma członków arytmetycznej progresji od 1 do n jest równa sumie pierwszego i n-tego członu pomnożonej przez liczbę członków n i podzielonych na dwa. Jeśli w formule wartość n-tego członka zostanie zastąpiona wyrażeniem z poprzedniego akapitu artykułu, otrzymamy:

suma członków progresji arytmetycznej

Przykład kalkulacji

Na przykład rozwiń problem w następujących warunkach:

- pierwszy człon sekwencji wynosi zero;

- różnica wynosi 0,5.

Zadanie polega na określeniu sumy członków serii z 56 na 101.

Decyzja. Używamy wzoru do określenia progresji:

s (n) = (2 ∙ a1 + d ∙ (n-1)) ∙ n / 2

Najpierw definiujemy sumę wartości 101 członków progresji, zastępując w formule dane o ich warunkach naszego zadania:

s 101 = (2 ∙ 0 + 0,5 ∙ (101-1)) ∙ 101/2 = 2 525

Oczywiście, aby dowiedzieć się sumy członków progresji od 56. do 101., należy odjąć S 55 od S 101 .

s 55 = (2 ∙ 0 + 0,5 ∙ (55-1)) ∙ 55/2 = 742,5

Tak więc suma progu arytmetycznego dla tego przykładu:

s 101 - s 55 = 2 525 - 742,5 = 1 782,5

Przykład praktycznego zastosowania progresji arytmetycznej

Na końcu artykułu powrócimy do przykładu arytmetycznej sekwencji podanej w pierwszym akapicie - taksometru (licznik taksówek). Rozważ ten przykład.

Lądowanie w taksówce (która obejmuje 3 kilometry) kosztuje 50 rubli. Każdy kolejny kilometr jest wypłacany w wysokości 22 rubli / km. Odległość podróży wynosi 30 km. Oblicz koszt podróży.

1. Odrzuć pierwsze 3 km, którego cena jest wliczona w koszt lądowania.

30 - 3 = 27 km.

2. Dalsze obliczenia to nic innego jak analiza szeregu liczb arytmetycznych.

Numer członka to liczba przebytych kilometrów (minus trzy pierwsze).

Wartość członka jest sumą.

Pierwszy termin w tym problemie będzie równy 1 = 50 p.

Różnica progresji d = 22 p.

liczba odsetek jest wartością (27 + 1) -ty członek progresji arytmetycznej - odczytów liczników na końcu 27. kilometra - 27.999 ... = 28 km.

a 28 = 50 + 22 ∙ (28 - 1) = 644

Formuły opisujące określone sekwencje liczbowe są używane do obliczania danych kalendarza przez arbitralnie długi okres. W astronomii długość orbity zależy od geometrycznej zależności od odległości ciał niebieskich od gwiazdy. Ponadto, różne serie liczbowe są z powodzeniem stosowane w statystykach i innych zastosowanych gałęziach matematyki.

Kolejny typ sekwencji liczb jest geometryczny.

Postęp geometryczny charakteryzuje się dużą, w porównaniu z arytmetyczną, stopą zmian. Nie jest przypadkiem, że w polityce, socjologii i medycynie często mówi się, że proces rozwija się wykładniczo, aby pokazać wysoki współczynnik propagacji zjawiska, na przykład choroby w epidemii.

N-ty termin szeregu liczb geometrycznych różni się od poprzedniego tym, że jest pomnożony przez stałą liczbę - mianownik, na przykład, pierwszy termin to 1, mianownik to 2, odpowiednio:

n = 1: 1 ∙ 2 = 2

n = 2: 2 ∙ 2 = 4

n = 3: 4 ∙ 2 = 8

n = 4: 8 ∙ 2 = 16

n = 5: 16 ∙ 2 = 32,

n = 6: 32 ∙ 2 = 64 i tak dalej ...

Postęp arytmetyczny

gdzie:

b n - wartość bieżącego okresu przebiegu geometrycznego;

b n + 1 - wzór na kolejny okres przebiegu geometrycznego;

q jest mianownikiem progresji geometrycznej (stała liczba).

Jeśli wykres arytmetycznej progresji jest linią prostą, to geometryczna rysuje nieco inny obraz:

Postęp arytmetyczny

Podobnie jak w przypadku arytmetyki, progresja geometryczna ma formułę określającą wartość dowolnego terminu. Dowolny n-ty stopień postępu geometrycznego jest równy iloczynowi pierwszego członu przez mianownik progresji do stopnia n pomniejszony o jeden:

Postęp arytmetyczny

Przykład. Mamy geometryczną progresję z pierwszym terminem równym 3 i mianownikiem progresji równym 1,5. Znajdź piątego członka progresji

b 5 = b 1 ∙ q (5-1) = 3 ∙ 1,5 4 = 15,1875

Suma określonej liczby członków jest również obliczana przy użyciu specjalnej formuły. Suma n pierwszych warunków progresji geometrycznej jest równa różnicy iloczynu n-tego progu progresji przez jego mianownik i pierwszy okres progresji podzielonej przez mianownik pomniejszony o jeden:

suma progresji arytmetycznej

Jeśli b n zostanie zastąpione przy użyciu powyższego wzoru, wartość sumy n pierwszych członów rozpatrywanej serii liczb przyjmuje postać:

suma członków progresji arytmetycznej

Przykład. Postęp geometryczny rozpoczyna się od pierwszego okresu równego 1. Mianownik ma wartość 3. Znajdź sumę pierwszych ośmiu członków.

s8 = 1 ∙ (3 8 -1) / (3-1) = 3 280