Funkcja produkcji Cobb-Douglasa: przykłady rozwiązań

Produkcja to tak naprawdę proces przekształcania jednego produktu w drugi. W procesie którego z całości prostego okazuje się czymś bardziej złożonym w swej istocie. Funkcja produkcji Cobb-Douglas, jak każdy inny, odzwierciedla istniejący związek między wynikiem a kombinacją czynników, które zostały użyte do jego osiągnięcia. Różnice między różnymi modelami są w zasięgu ich pokrycia rzeczywistej sytuacji. Najprostszy jest liniowy, co odzwierciedla związek między liczbą pracowników a rzeczywistą produkcją. Model produkcji Cobba-Douglasa uważa nie tylko pracę za źródło osiągnięcia wyników, ale także za kapitał. Najbardziej złożone są nowoczesne modele wieloczynnikowe. Obejmują grunty, umiejętności przedsiębiorcze, a nawet informacje.

Produkcja jako proces

Produkcja w swej istocie jest przekształceniem różnych materialnych i niematerialnych inwestycji (planów, know-how) w tworzenie przedmiotów przeznaczonych do konsumpcji. Jest to proces tworzenia produktu lub usługi korzystnej dla osób. Wzrost produkcji oznacza poprawę dobrobytu gospodarczego. Wynika to z faktu, że wszystkie produkty są bezpośrednio lub pośrednio wykorzystywane do zaspokajania ludzkich potrzeb. A te ostatnie, jak wiecie, są nieskończone. W związku z tym dobrobyt gospodarczy państwa często ocenia stopień zaspokojenia potrzeb jego obywateli. Jego wzrost przypisuje się dwóm czynnikom: poprawie stosunku jakości do ceny dostępnych produktów oraz wzrostowi siły nabywczej ludzi poprzez bardziej wydajną produkcję rynkową.

Źródło ekonomicznego dobrobytu

Głównie w gospodarce istnieją tylko dwa procesy: produkcja i konsumpcja. I te same typy aktorów. Producenci wytwarzają produkty w celu zaspokojenia potrzeb konsumentów. W związku z tym dobrobyt gospodarczy składa się z dwóch elementów. Pierwsza to wydajna produkcja, druga to interakcja między czynnikami. Dobrobyt konsumentów zależy od produktów, na które mogą sobie pozwolić, a od producentów - od dochodu, który otrzymują jako wynagrodzenie za swoją pracę oraz od zasobów materialnych i finansowych zainwestowanych w proces produkcji. wartości niematerialne i prawne.

Proces tworzenia produktu

Każda firma w trakcie swojej pracy zajmuje się różnorodnymi indywidualnymi działaniami. Jednak dla ułatwienia zrozumienia produkcji zwyczajowo wyróżnia się pięć głównych procesów, z których każdy ma swoją własną logikę, cele, teorię i kluczowe liczby. Ważne jest, aby studiować je nie tylko jako całość, ale także osobno. Tak więc w trakcie produkcji rozróżnia się następujące procesy:

• Prawdziwe.
• Proces dystrybucji dochodów.
• Produkcja.
• Monetary.
• Proces określania wartości rynkowej.

Definicja ekonomiczna

Funkcja produkcji jest zależnością między uwolnieniem a kombinacją czynników użytych do jego wdrożenia. Głównym z nich jest praca. Prosty model liniowy uwzględnia go tylko. Funkcja produkcji Cobba-Douglasa, której przykład zostanie omówiony poniżej, uwzględnia nie tylko siłę roboczą, ale także kapitał jako czynnik w procesie produkcji. Inne modele dodatkowo uwzględniają grunt (P) i zdolność przedsiębiorczą (H). Tak więc produkcja jest funkcją kombinacji tych wskaźników lub Q = f (K, L, P, H). Każda gałąź gospodarki, a nawet oddzielne przedsiębiorstwo, ma swoją własną charakterystykę. Dlatego funkcje produkcyjne mogą mieć nieskończoną liczbę.

Prosty model liniowy

Funkcja produkcji Cobba-Douglasa bierze pod uwagę dwa czynniki, zgodnie z tradycją w teoriach neoklasycznych. Jednak znacznie łatwiej jest rozważyć tylko jeden. Teoria o absolutnych zaletach Adama Smitha, z którym faktycznie rozpoczęła się cała współczesna gospodarka, opierała się tylko na pracy jako na czynniku produkcji. Nie uciekaj od tego założenia i David Ricardo. I dopiero w latach 60. ubiegłego stulecia szwedzcy ekonomiści Eli Heckscher i Bertil Olin podjęli wolność, by zacząć rozważać inny czynnik - kapitał. Najprostszy model produkcji jest liniowy. Opisuje związek między wielkością pracy a wydajnością. Jej równanie zawiera tylko jedną niezależną zmienną. Tak więc liniowa funkcja produkcji ma następującą postać: Q = a * L, gdzie Q to objętość wyjściowa, a to parametr, L to liczba pracowników zatrudnionych przy produkcji. Rozważ osobny przykład. Jeden pracownik może wykonać 10 krzeseł dziennie. W tym przypadku równanie będzie miało następującą formę: Q = 10 * L.

Prawo redukcji odrzutów

Kontynuuj rozważanie powyższego przykładu. Funkcja liniowa oznacza, że ​​zwiększenie liczby pracowników zawsze prowadzi do zwiększenia produkcji. Jeden mistrz może zrobić 10 krzeseł dziennie, pięć - 50, sto - 1000. Jednak w rzeczywistości wszystko jest nieco bardziej skomplikowane. W takich modelach należy wziąć pod uwagę środki trwałe i spadek zysków. Dlatego w równaniu pojawia się dodatkowy parametr b. Leży od zera do jednego, co wynika z jego esencji ekonomicznej. Obecnie zależność między wielkością produkcji a liczbą pracowników można opisać następująco: Q = a * L ^b . Równanie z poprzedniego przykładu w rzeczywistości będzie wyglądać tak: Q = 10 * L ^0,5 . A to oznacza, że ​​jeden pracownik produkuje 10 krzeseł, a pięć nie ma wcale 50, ale tylko 22. Sto rzemieślników nie może wyprodukować tysiąca produktów, ale tylko sto. I to jest prawo malejących zysków w działaniu.

Modele wieloczynnikowe

Funkcja produkcji Cobba-Douglasa to: Q = a * L ^b * K ^c . Jak widać ze wzoru, mamy już do czynienia z trzema parametrami (a, b, c) i dwoma czynnikami (L, K). Bierze pod uwagę nie tylko zasoby pracy (liczba pracowników), ale także kapitał (liczba dostępnych pił). Parametry funkcji produkcji Cobba-Douglasa zależą nie tylko od sektora gospodarki, ale także od technologii stosowanej w indywidualnym przedsiębiorstwie. Nie wolno nam zapominać o działaniu prawa malejących zysków z jakiegokolwiek używanego czynnika. Nasze równanie z powyższego przykładu można rozszerzyć w następujący sposób: Q = 10 * L ^0,5 * K. Funkcja produkcji Cobba-Douglasa używana jest najczęściej w nowoczesnych teoriach neoklasycznych ze względu na względną prostotę i bliskość rzeczywistości. Bardziej skomplikowane modele dopiero zaczynają się rozprzestrzeniać.

Naprawiono proporcje

Załóżmy, że jedynym sposobem na wyprodukowanie krzesła jest zapewnienie każdemu pracownikowi piły. Dodatkowe narzędzia w tym przypadku są po prostu bezużyteczne. Oznacza to, że uwolnienie produktu oznacza pewien stosunek kapitału i zasobów pracy. W tym przypadku wielkość produkcji jest określana przez "słabe ogniwo". W tym przypadku ekonomiści wynaleźli specjalną funkcję. Ma następującą postać: min {L, K}. Jeśli chcesz utworzyć krzesło, potrzebujesz dwóch pracowników i jednej piły, a następnie min {2L, K}.

Idealni zamienniki

Jeśli jeden czynnik można zastąpić innym, będzie to miało wpływ na wygląd funkcji produkcyjnej. Załóżmy na przykład, że zamiast cieśli mogą być używane roboty. Wzór z przykładu będzie wyglądał następująco: Q = 10 * L + 10 * R. Lub ogólnie: Q = a * L + d * R, gdzie a, d są parametrami, a L i R to liczba stolarzy i robotów. Jeśli maszyny są 10 razy szybsze od robotników, formuła będzie wyglądać następująco: Q = 10 * L + 100 * R.

Funkcja produkcji Cobba-Douglasa: właściwości

Zaczniemy od rozważenia najbardziej popularnego modelu neoklasycznego z jego głównymi cechami:

1. Funkcje produkcyjne Cobb-Douglasa uwzględniają dwa czynniki: pracę i kapitał.

2. Pozytywnie malejący produkt marginalny.

3. Stała elastyczność uwalniania, równa b dla L i c dla K.

4. Funkcja produkcji Cobba-Douglasa ma postać: Q = a * L ^b * K ^c .

5. Stały efekt skali równy sumie b i c.

Informacje historyczne

Podstawą każdej teorii ekonomicznej są czynniki produkcji. Funkcja produkcji Cobba-Douglasa bierze pod uwagę dwa z czterech głównych: siłę roboczą i kapitał. Dzisiaj dla każdej firmy możesz wymyślić jej indywidualne przykłady. Decyzja o funkcjach produkcyjnych Cobba-Douglasa nie nastąpiła bez pracy Knata Vixella (1851-1926). To on pierwszy skonstruował ten model. Charles Cobb i Paul Douglas, których nazwiska później nazwano, testowali je tylko w praktyce. W 1928 roku opublikowano ich książkę, która opisywała wzrost gospodarczy Stanów Zjednoczonych w latach 1899-1922. Naukowcy wyjaśnili to za pomocą dwóch czynników: zużytych zasobów pracy i zainwestowanego kapitału. Oczywiście wiele innych parametrów ma wpływ na wzrost gospodarczy, ale statystyki dowiodły, że te dwa są decydujące, które wyróżnił Knatse Wicksell.

Według Paula Douglasa pierwsze sformułowanie funkcji pojawiło się w 1927 roku. W tym czasie próbował wywodzić matematyczny wyraz związku między pracownikami a kapitałem. Zwrócił się do swojego kolegi Charlesa Cobba. Ten ostatni zdołał wyprowadzić nowoczesne równanie, które, jak się okazało, wykorzystywało Knuta Wicksella w swoich pracach. Przy użyciu metody najmniejszych kwadratów naukowcy byli w stanie wyświetlić wykładnik robocizny (0,75). Jego wartość została potwierdzona przez National Bureau of Economic Research. W latach 40. ubiegłego stulecia naukowcy odeszli od stałych i oświadczyli, że wykładniki mogą się z czasem zmieniać.

Założenia modelu

Jeżeli dane wyjściowe pochodzą z dwóch czynników (praca i kapitał), wówczas elastyczność całej funkcji będzie zależeć od wydajności krańcowej każdego z nich. W związku z tym Cobb i Douglas zbudowali swój model na następujących założeniach:

• Produkcja nie może być kontynuowana bez jednego z czynników. Praca i kapitał nie są substytutami, które mogą zastąpić się nawzajem w procesie uwalniania. Dodatkowe piły nie mogą tworzyć krzeseł bez udziału stolarzy.
• Wydajność krańcowa każdego z czynników jest proporcjonalna do wielkości produkcji na jednostkę.

Uwolnij elastyczność

Oczywiście zmniejszenie objętości użytych materiałów prowadzi do zmniejszenia objętości produktów. Funkcja produkcji Cobba-Douglasa zajmuje się marginalnym wydaniem. Elastyczność w gospodarce to procentowa zmiana wartości jednego wskaźnika w odpowiedzi na spadek lub wzrost w innym powiązanym z nim wskaźniku. Funkcja produkcji Cobba-Douglasa oznacza, że ​​b i c są stałymi. Jeśli b wynosi 0,2, a liczba pracowników wzrośnie o 10%, wówczas produkcja wzrośnie o 2%.

Efekt skali

Aby uzyskać rzeczywisty wzrost produkcji, ilość użytych czynników produkcji musi wzrosnąć proporcjonalnie. Jeśli tak jest, to mówimy, że używamy efekt skali. Funkcja produkcji Cobba-Douglasa, której właściwości już rozważaliśmy, bierze to pod uwagę. Jeśli b + c = 1, oznacza to, że mamy do czynienia ze stałym efektem skali,> 1 - zwiększenie, <1 - zmniejszenie.

Współczynnik czasu

Model funkcji produkcji Cobba-Douglasa jest często używany do opisania średnio- i długoterminowego. Oczywiście łatwiej jest zatrudniać nowych ludzi niż zwiększać zasoby kapitałowe. Dlatego niektórzy ekonomiści twierdzą, że prosty model liniowy najlepiej nadaje się do opisywania krótkich okresów w przedsiębiorstwie. Firma posiada pewną wielkość pomieszczenia, ograniczoną liczbę maszyn, które można zmienić tylko poprzez długoterminowe planowanie. Potrzebny do tego okres może się różnić w zależności od przedsiębiorstwa, a także elastyczności funkcji produkcji Cobba-Douglasa.

Problemy z aplikacją

Pomimo faktu, że dwuskładnikowa funkcja produkcji stała się powszechna i została przetestowana statystycznie przez Cobba i Douglasa, niektórzy ekonomiści wciąż wątpią w jej dokładność w różnych branżach i okresach czasu. Głównym założeniem tego modelu jest stałość elastyczności pracy i kapitału w krajach rozwiniętych. Czy tak jest naprawdę? Ani Cobb, ani Douglas nie stworzyli teoretycznego tła dla jego istnienia. Stałość współczynników b i c znacznie upraszcza obliczenia i to wszystko. Jednocześnie naukowcy nie zrozumieli nic na temat inżynierii, technologii i zarządzania procesem produkcyjnym. Ponadto możliwość jego wykorzystania na poziomie mikro nie wskazuje na jego poprawność w warunkach makroekonomicznych i odwrotnie.

Krytyka pełniła funkcję produkcji Cobb-Douglasa od jego powstania w 1928 roku. Początkowo było to dla naukowców tak frustrujące, że chcieli odejść z pracy. Ale potem postanowili kontynuować. W 1947 r. Douglas przedstawił nowe potwierdzenia swojej poprawności jako prezesa Amerykańskiego Stowarzyszenia Gospodarczego. Naukowiec nie był w stanie kontynuować pracy z powodu problemów zdrowotnych. W przyszłości funkcję produkcji ulepszyli Paul Samuelson i Robert Solow, na zawsze zmieniając pomysły dotyczące badania makroekonomii.

Dzisiaj funkcja produkcji Cobba-Douglasa jest jedną z najważniejszych koncepcji. Opisuje zależność między zagnieżdżonymi czynnikami a wynikiem. W przeciwieństwie do prostych modeli liniowych, które nadają się tylko do opisania krótkiego okresu życia firmy, można go wykorzystać do planowania długoterminowego. Nie należy jednak zapominać o szeregu założeń i problemach, z którymi powiązane są ich aplikacje.