Jak obliczyć przekątną pryzmy prostopadłościanu?

Pryzmat jest geometryczną figurą wolumetryczną, której cechy i właściwości są badane w szkołach średnich. Z reguły podczas badania uwzględnia się takie wielkości, jak objętość i powierzchnia. W tym artykule otworzymy nieco inne pytanie: podajemy metodę wyznaczania długości przekątnych pryzmatu na przykładzie kształtu czworokątnego.

Jaką postać nazywa się pryzmatem?

W geometrii podano następującą definicję pryzmatu: jest to trójwymiarowa figura, ograniczona dwiema wielobocznymi identycznymi bokami, które są równoległe do siebie, oraz szeregiem równoległoboków. Poniższy rysunek pokazuje przykład pryzmatu, który spełnia tę definicję.

Widzimy, że dwa czerwone pięciokąty są sobie równe i znajdują się w dwóch równoległych płaszczyznach. Pięć różowych równoległoboków łączy te pięciokąty w jeden obiekt - pryzmat. Dwa pięciokąty są nazywane podstawami figury, a jej równoległoboki są powierzchniami bocznymi.

Pryzmaty są proste i ukośne, które nazywane są również prostokątnymi i ukośnymi. Różnica między nimi jest w rogach między podstawą a bocznymi ścianami. W przypadku prostopadłościanu wszystkie te kąty wynoszą 90 ^o .

Zgodnie z liczbą boków lub wierzchołków wielokąta u podstawy, mówią one o pryzmatach trójkątnych, pięciokątnych, czworokątnych i tak dalej. A jeśli ten wielokąt jest prawidłowy, a sam pryzmat jest linią prostą, wówczas taki kształt nazywa się poprawny.

Pryzmat przedstawiony na poprzednim rysunku jest pięciokątny. Poniżej znajduje się pięciokątny prosty pryzmat, który jest poprawny.

Wszystkie obliczenia, w tym metoda określania przekątnej pryzmatu, wygodnie jest wykonać dokładnie dla prawidłowych figur.

Jakie elementy charakteryzują pryzmat?

Elementy tej figury są częściami składowymi, które ją tworzą. W szczególności w przypadku pryzmatu istnieją trzy główne typy elementów:

• piki;
• twarze lub boki;
• żebra.

Twarze to podstawy i płaszczyzny boczne, które reprezentują równoległoboki w ogólnym przypadku. W pryzmie każda strona jest zawsze jednego z dwóch typów: albo jest to wielokąt, albo równoległobok.

Krawędzie pryzmatu to te segmenty, które ograniczają każdą stronę figury. Podobnie jak krawędzie, krawędzie są również dwojakiego rodzaju: należą do podstawy i powierzchni bocznej lub należą tylko do powierzchni bocznej. Pierwszy jest zawsze dwa razy większy niż drugi, niezależnie od rodzaju pryzmatu.

Wierzchołki są punktami przecięcia trzech krawędzi pryzmatu, z których dwa leżą w płaszczyźnie podstawy, a trzeci należy do dwóch ścian bocznych. Wszystkie wierzchołki pryzmatu znajdują się w płaszczyznach podstawy figury.

Liczby opisanych elementów są połączone w jedną równość, która ma następującą postać:

P = B + C - 2.

Tutaj P jest liczbą krawędzi, B - szczytów, C - boków. Równość ta nazywana jest twierdzeniem Eulera dla wielościanu.

Na rysunku pokazano trójkątny prawidłowy pryzmat. Każdy może stwierdzić, że ma 6 wierzchołków, 5 boków i 9 krawędzi. Liczby te są zgodne z twierdzeniem Eulera.

Przekątne pryzmaty

Po właściwościach takich jak objętość i powierzchnia, przy problemach z geometrią często znajduje się informacja o długości danej przekątnej rozpatrywanej figury, która jest podana lub musi być znaleziona przy użyciu innych znanych parametrów. Zastanów się, jaka jest przekątna pryzmatu.

Wszystkie przekątne można podzielić na dwa typy:

1. Leżąc w płaszczyźnie twarzy. Łączą one nie sąsiednie wierzchołki wielokąta u podstawy pryzmatu lub równoległoboku powierzchni bocznej. Wartość długości tych przekątnych jest określana na podstawie znajomości długości odpowiednich krawędzi i kątów między nimi. Aby określić przekątne równoległoboków, zawsze używa się właściwości trójkątów.
2. Leżąc wewnątrz objętości pryzmatu. Te przekątne łączą nie-jeden-do-jednego pików dwóch zasad. Te przekątne są całkowicie wewnątrz figury. Ich długość jest nieco trudniejsza do obliczenia niż w przypadku poprzedniego typu. Metoda obliczeniowa obejmuje uwzględnienie długości krawędzi i podstawy oraz równoległoboków. W przypadku pryzmatów prostych i regularnych obliczenia są stosunkowo proste, ponieważ są przeprowadzane z wykorzystaniem twierdzenia Pitagorasa i właściwości funkcji trygonometrycznych.

Poniżej znajdują się przykłady obliczania różnych przekątnych.

Przekątne boki prostopadłościanu czworokątnego

Powyższy rysunek pokazuje cztery identyczne proste pryzmaty i podano parametry ich krawędzi. Na pryzmatach przekątnej A, przekątnej B i przekątnej C przerywana czerwona linia pokazuje przekątną trzech różnych ścian. Ponieważ pryzmat jest prosty o wysokości 5 cm, a jego podstawa jest reprezentowana przez prostokąt o bokach 3 cm i 2 cm, łatwo jest znaleźć zaznaczone przekątne. Aby to zrobić, użyj twierdzenia Pitagorasa.

Długość przekątnej podstawy pryzmy (Przekątna A) jest równa:

D _A = √ (3 ² +2 ² ) = √13 ≈ 3.606 cm.

Dla poprzecznej powierzchni pryzmy przekątna jest (patrz Przekątna B):

D _B = √ (3 ² + 5 ² ) = √34 ≈ 5,831 cm.

Na koniec długość drugiej przekątnej jest równa (patrz Przekątna C):

D _C = √ (2 ² + 5 ² ) = √29 ≈ 5.385 cm.

Długość wewnętrznej przekątnej

Teraz obliczamy długość przekątnej czworobocznego pryzmatu, co pokazano na poprzednim rysunku (Przekątna D). Nie jest tak trudno to zrobić, jeśli zauważysz, że jest to przeciwprostokątna trójkąta, w którym wysokość nóg (5 cm) i przekątna D _A pokazana na rysunku u góry po lewej (Przekątna A) będą nogami. Następnie otrzymujemy:

D _D = √ (D _A ² + 5 ² ) = √ (2 ² +3 ² +5 ² ) = √38 ≈ 6.164 cm.

Prawidłowy pryzmat czworokątny

Przekątna zwykłego pryzmatu, którego podstawą jest kwadrat, jest obliczana w taki sam sposób jak w powyższym przykładzie. Odpowiednia formuła to:

D = √ (2 * a ² + c ² ).

Gdzie a i c są długościami odpowiednio strony bazowej i krawędzi bocznej.

Zwróć uwagę, że w obliczeniach użyliśmy jedynie twierdzenia Pitagorasa. Aby określić długości przekątnych zwykłych graniastosłupów z dużą liczbą wierzchołków (pięciokątnych, sześciokątnych itd.), Konieczne jest już użycie funkcji trygonometrycznych.