Czym jest sinus i cosinus w trygonometrii?

Nauczyciele uważają, że każdy uczeń powinien umieć wykonywać obliczenia, znać formuły trygonometryczne, ale nie każdy nauczyciel wyjaśnia, czym jest sinus i cosinus. Jakie jest ich znaczenie, gdzie są one używane? Dlaczego mówimy o trójkątach, a w podręczniku jest krąg? Spróbujmy połączyć wszystkie fakty razem.

Przedmiot szkolny

Badanie trygonometrii rozpoczyna się zwykle w klasie 7-8. W tym czasie uczniowie wiedzą, czym są sinusi i cosinus, proponują rozwiązywanie problemów geometrycznych za pomocą tych funkcji. Później pojawiają się bardziej złożone formuły i wyrażenia, które wymagają przekształcenia w sposób algebraiczny (formuły podwójnego i półokresowego, funkcje mocy), a praca jest wykonywana za pomocą koła trygonometrycznego.

Jednak nauczyciele nie zawsze są w stanie jednoznacznie wyjaśnić znaczenie użytych pojęć i możliwości zastosowania formuł. Dlatego uczeń często nie widzi sensu w tym temacie, a zapamiętane informacje szybko zostają zapomniane. Warto jednak raz wyjaśnić uczniowi liceum, na przykład, związek między funkcją a ruchem oscylacyjnym, a logiczne połączenie zostanie zapamiętane na wiele lat, a dowcipy o bezużyteczności tematu będą już przeszłością.

Używanie

Spójrzmy na ciekawość w różnych sekcjach fizyki. Chcesz określić zasięg pocisku? Albo obliczyć siłę tarcia między obiektem a określoną powierzchnią? Kołysząc wahadłem, obserwując promienie przechodzące przez szybę, obliczyć indukcję? Praktycznie w dowolnej formule pojawiają się pojęcia trygonometryczne. Czym więc jest sinus i cosinus?

Definicje

Sinus kąta jest stosunkiem przeciwnej nogi do przeciwprostokątnej, cosineza sąsiedniej nogi jest taka sama dla tej samej przeciwprostokątnej. Nie ma absolutnie nic skomplikowanego. Być może uczniowie są zwykle zdezorientowani przez wartości, które widzą w tabeli trygonometrycznej, ponieważ się pojawiają kwadratowe korzenie. Tak, wynoś się z nich miejsca dziesiętne niezbyt wygodne, ale kto powiedział, że wszystkie liczby w matematyce powinny być równe?

W rzeczywistości można znaleźć zabawną podpowiedź w książkach problemowych trygonometrii: większość odpowiedzi tutaj jest parzysta, aw najgorszym przypadku zawiera korzeń dwóch lub trzech. Wniosek jest prosty: jeśli otrzymasz frakcję "wielopiętrową" w odpowiedzi, dwukrotnie sprawdź decyzję pod kątem błędów w obliczeniach lub w argumentach. I najprawdopodobniej je znajdziesz.

O czym musisz pamiętać

Jak w każdej nauce, w trygonometrii są takie dane, których należy się nauczyć.

Najpierw zapamiętaj wartości liczbowe dla sinusów, cosinusów trójkąt prostokątny 0 i 90, a także 30, 45 i 60 stopni. Wskaźniki te znajdują się w dziewięciu z dziesięciu zadań szkolnych. Przeglądając te wartości w podręczniku, stracisz dużo czasu i nie będzie miejsca, aby przyjrzeć się testowi lub egzaminowi.

Należy pamiętać, że wartość obu funkcji nie może przekraczać jednego. Jeśli gdzieś w obliczeniach otrzymasz wartość spoza zakresu 0-1, zatrzymaj się i rozwiąż problem ponownie.

Suma kwadratów sinusa i cosinusa jest równa jednej. Jeśli już znalazłeś jedną z wartości, użyj tej formuły, aby znaleźć pozostałe.

Twierdzenia

W podstawowej trygonometrii istnieją dwa główne twierdzenia: sinus i cosinus.

Pierwsza z nich mówi, że stosunek każdej strony trójkąta do sinusa o przeciwnym kącie jest taki sam. Po drugie, kwadrat z dowolnej strony można uzyskać, dodając kwadraty dwóch pozostałych boków i odejmując ich podwójny produkt pomnożony przez cosinus kąta między nimi.

Tak więc, jeśli w twierdzenie cosinus Zastąp wartość kąta 90 stopni, otrzymamy ... twierdzenie Pitagorasa. Teraz, jeśli chcesz obliczyć obszar figury, która nie jest trójkątem prostokątnym, nie możesz się już martwić - te dwa twierdzenia znacznie uprościją rozwiązanie problemu.

Cele i cele

Studiowanie trygonometrii zostanie znacznie uproszczone, gdy zdasz sobie sprawę z jednego prostego faktu: wszystkie działania, które wykonujesz, mają na celu osiągnięcie jednego celu. Wszelkie parametry trójkąta można znaleźć, jeśli znasz minimalną informację o nim - może to być wartość jednego kąta i długości dwóch boków lub, na przykład, trzech boków.

Aby wyznaczyć sinus, cosinus, styczna o dowolnym kącie tych danych wystarczy, przy ich pomocy można łatwo obliczyć obszar figury. Niemal zawsze jedna z wymienionych wartości jest wymagana jako odpowiedź i można je znaleźć przy użyciu tych samych formuł.

Niespójności w badaniu trygonometrii

Jednym z niejasnych pytań, których uczniowie wolą unikać, jest znalezienie związku pomiędzy różnymi koncepcjami w trygonometrii. Wydaje się, że trójkąty są używane do badania sinusoid i cosinusów w rogach, ale z jakiegoś powodu symbole często znajdują się na figurze z okręgiem. Ponadto istnieje niezrozumiały wykres podobny do fali zwany sinusoidą, który nie ma zewnętrznego podobieństwa do koła lub trójkątów.

Co więcej, kąty są mierzone w stopniach, a następnie w radianach, a liczba Pi, zapisana po prostu jako 3,14 (bez jednostek), z jakiegoś powodu pojawia się w formułach odpowiadających 180 stopniom. Jak to wszystko jest ze sobą powiązane?

Jednostki miary

Dlaczego pi ma dokładnie 3,14? Czy pamiętasz, jaka jest ta wartość? Jest to liczba promieni, które mieszczą się w łuku półokręgu. Jeśli średnica okręgu wynosi 2 centymetry, obwód będzie wynosić 3,14 * 2 lub 6,28.

Drugi punkt: być może zauważyłeś podobieństwo słów "radian" i "radius". Faktem jest, że jeden radian jest liczbowo równy kątowi pomiędzy środkiem okręgu a łukiem o długości jednego promienia.

Teraz połączmy uzyskaną wiedzę i zrozumiemy, dlaczego słowo "Pi na pół" jest zapisane na osi współrzędnych w trygonometrii, a po lewej - "Pi". Jest to wartość kątowa, mierzona w radianach, ponieważ półkole mają 180 stopni lub 3,14 radiana. A tam, gdzie są stopnie, są sinusi i cosinus. Trójkąt jest łatwy do przytrzymania od żądanego punktu, umieszczając segmenty na środku i na osi współrzędnych.

Spójrz w przyszłość

Trygonometria, studiowana w szkole, zajmuje się prostoliniowym układem współrzędnych, gdzie, jakkolwiek może to zabrzmieć, linia prosta jest linią prostą.

Ale są bardziej złożone sposoby pracy z przestrzenią: suma kątów trójkąta tutaj będzie większa niż 180 stopni, a linia w naszym widoku będzie wyglądała jak prawdziwy łuk.

Przejdźmy od słów do czynów! Weź jabłko. Wykonaj trzy nacięcia nożem, aby podczas oglądania z góry uzyskać trójkąt. Wyjmij powstały kawałek jabłka i spójrz na "żeberka", gdzie kończy się skórka. Nie są wcale bezpośredni. Owoce w twoich rękach można nazwać rundą, a teraz wyobraź sobie, jak skomplikowane powinny być formuły, dzięki którym możesz znaleźć obszar przekroju. Ale niektórzy eksperci rozwiązują takie problemy codziennie.

Funkcje trygonometryczne w życiu

Czy zauważyłeś, że najkrótsza trasa samolotu z punktu A do punktu B na powierzchni naszej planety ma wyraźny kształt łuku? Powód jest prosty: ziemia jest w kształcie kuli, co oznacza, że ​​nie można obliczyć dużo za pomocą trójkątów - tutaj trzeba użyć bardziej złożonych formuł

Nie obywa się bez sinusa / cosinusa o ostrym kącie w jakichkolwiek problemach związanych z przestrzenią. Co ciekawe, zbiega się tu cała masa czynników: funkcje trygonometryczne są wymagane przy obliczaniu ruchu planet w okręgach, elipsach i różnych trajektoriach o bardziej złożonych kształtach; proces wystrzeliwania rakiet, satelitów, wahadłowców, oddokowych aparatów badawczych; obserwując odległe gwiazdy i badając galaktyki, których człowiek nie może osiągnąć w przewidywalnej przyszłości.

Ogólnie rzecz biorąc, pole dla ludzkiej aktywności, które jest właścicielem trygonometrii, jest bardzo szerokie i, jak się wydaje, rozwinie się tylko w czasie.

Wniosek

Dzisiaj nauczyliśmy się, a w każdym razie powtarzaliśmy, co to jest sinus i cosinus. Są to pojęcia, których nie trzeba się bać - powinieneś chcieć, a zrozumiesz ich znaczenie. Pamiętaj, że trygonometria nie jest celem, ale tylko narzędziem, które może być wykorzystane do zaspokojenia prawdziwych ludzkich potrzeb: buduj domy, zapewniaj bezpieczeństwo ruchu, a nawet odkrywaj otwarte przestrzenie wszechświata.

Rzeczywiście, sama nauka może wydawać się nudna, ale gdy znajdziesz w niej sposób na osiągnięcie własnych celów, samorealizację, proces uczenia się stanie się interesujący, a twoja osobista motywacja wzrośnie.

Jako zadanie domowe, spróbuj znaleźć sposoby zastosowania funkcji trygonometrycznych w obszarze zainteresowania, który Cię interesuje osobiście. Wyobraź sobie, włącz wyobraźnię, a wtedy z pewnością odkryjesz, że nowa wiedza przyda Ci się w przyszłości. Poza tym matematyka jest przydatna dla ogólnego rozwoju myślenia.