Jak obliczyć kąty między wektorami?

Podczas studiowania geometrii pojawia się wiele pytań na temat wektorów. Uczeń ma szczególne trudności, jeśli chodzi o znalezienie kątów między wektorami.

Podstawowe pojęcia

Przed uwzględnieniem kątów między wektorami konieczne jest zapoznanie się z definicją wektora i pojęciem kąta między wektorami.

Wektor jest segmentem, który ma kierunek, czyli segment, dla którego zdefiniowano jego początek i koniec.

Kąt między dwoma wektorami na płaszczyźnie, która ma wspólny początek nazywany jest mniejszym z kątów, o ile chcesz przesunąć jeden z wektorów wokół wspólnego punktu, do pozycji, w której ich kierunki się pokrywają.

Wzór do rozwiązania

Po zrozumieniu, czym jest wektor i jak określa się jego kąt, możemy obliczyć kąt między wektorami. Formuła rozwiązania tego jest dość prosta, a wynikiem jej zastosowania będzie wartość cosinusa kąta. Zgodnie z definicją jest ona równa konkretnemu produktowi skalarnemu wektorów i iloczynowi ich długości.

Iloczyn skalarny wektorów jest uważany za sumę odpowiadających współrzędnych wektorów współczynnika pomnożonych przez siebie. Długość wektora lub jego modułu jest obliczana jako pierwiastek kwadratowy z sumy kwadratów jego współrzędnych.

Po uzyskaniu wartości cosinusa kąta, wielkość samego kąta można obliczyć za pomocą kalkulatora lub przy użyciu tabeli trygonometrycznej.

Przykład

Gdy zrozumiesz, jak obliczyć kąt między wektorami, rozwiązanie odpowiedniego problemu stanie się proste i proste. Jako przykład warto wziąć pod uwagę proste zadanie znalezienia wielkości kąta.

Przede wszystkim wygodniej będzie obliczyć wartość niezbędną do rozwiązania wartości długości wektorów i ich iloczynu skalarnego. Korzystając z powyższego opisu, otrzymujemy:

Podstawiając uzyskane wartości do formuły, obliczamy cosinus o pożądanym kącie:

Liczba ta nie jest jedną z pięciu wspólnych wartości cosinusa, więc aby uzyskać kąt, należy użyć kalkulatora lub tabeli trygonometrycznej Bradisa. Ale zanim uzyska się kąt między wektorami, można uprościć formułę, aby pozbyć się dodatkowego znaku ujemnego:

Ostateczną odpowiedź na zachowanie dokładności można pozostawić w tej formie i można obliczyć kąt w stopniach. Zgodnie z tabelą Bradisa jego wartość będzie wynosić około 116 stopni i 70 minut, a kalkulator pokaże wartość 116.57 stopni.

Oblicz kąt w przestrzeni n-wymiarowej

Rozważając dwa wektory w trójwymiarowa przestrzeń znacznie trudniej jest zrozumieć, o który zakątek chodzi, jeśli nie leżą w tej samej płaszczyźnie. Aby uprościć percepcję, możesz narysować dwa przecinające się segmenty, które tworzą najmniejszy kąt między nimi i będzie to pożądane. Pomimo obecności trzeciej współrzędnej w wektorze, proces obliczania kątów między wektorami nie zmieni się. Oblicz iloczyn skalarny i moduły wektorów, cosinus łukowy ich prywatnych i będą odpowiedzią na ten problem.

W geometrii często występują problemy z przestrzeniami, które mają więcej niż trzy wymiary. Ale dla nich algorytm znajdowania odpowiedzi wygląda tak samo.

Różnica między 0 a 180 stopni

Jednym z najczęstszych błędów przy pisaniu odpowiedzi na problem przeznaczony do obliczenia kąta między wektorami jest decyzja o zapisaniu, że wektory są równoległe, tzn. Pożądany kąt wyniósł 0 lub 180 stopni. Ta odpowiedź jest niepoprawna.

Po uzyskaniu wartości kąta 0 stopni zgodnie z wynikami decyzji, poprawną odpowiedzią byłoby oznaczenie wektorów jako przekierowanych, tzn. Wektory będą miały ten sam kierunek. W przypadku 180 stopni wektory będą skierowane przeciwnie.

Określone wektory

Znajdując kąty między wektorami, możesz znaleźć jeden ze specjalnych typów, oprócz kodów kierunkowych i przeciwnie skierowanych opisanych powyżej.

• Kilka wektorów równoległych do jednej płaszczyzny nazywa się współpłaszczyznowymi.
• Wektory tej samej długości i kierunku są nazywane równymi.
• Wektory leżące na jednej linii prostej, niezależnie od kierunku, nazywane są współliniowymi.
• Jeśli długość wektora wynosi zero, to znaczy jego początek i koniec pokrywają się, to jest to nazywane zero, a jeśli jest to jedno, to jest to jednostka.